Series divergentes en la física

2009 Febrero 19

etiquetas: Euler, función zeta, Riemann, serie factorial

by ricardos

La semana pasada, The Gauge Connection hizo mención de un post de Lubos Motl donde comenta algunos usos de series divergentes en la física. En particular, comenta la identidad

$1 + 2 + 3 + 4 + \ldots = -\dfrac{1}{12},$

obtenida de la continuación analítica de la función zeta de Riemann

$\displaystyle\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$

de $\Re(s)>1$ al plano perforado $\mathbb C\setminus\{1\}$ , utilizando el hecho que $\zeta(-1) = -\dfrac{1}{12}$ .

En un comentario en el mismo blog, Lubos menciona el clásico Divergent Series, de Hardy, y la serie

$\displaystyle f(x) = 1 - 1! x + 2! x^2 - 3! x^3 \ldots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n n! x^n.$

Esta serie diverge para todo $x\not=0$ , y encantó a los primeros analistas del siglo XVIII. En particular, Euler llamó a la serie $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n n!$ divergente por excelencia, como lo comenta Varadarajan en su artículo Euler and his work on infinite series, publicado en Bulletin of the AMS.