Teorema de la semana: el de Fejér


A partir de esta semana empezaré a publicar una serie de entradas con mis teoremas favoritos. Intentaré describir el teorema, su demostración (si no es demasiado técnica), su relevancia, así como el contexto histórico (matemáticamente hablando, desde luego) en el que fue obtenido.

No puedo asegurar que todas las semanas hablaré sobre un teorema, pero sí que cada teorema discutido aquí tendrá su semana.


Si f es una función periódica, digamos, con periodo 2\pi, su serie de Fourier está dada por

\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \big( a_n \cos nx + b_n \sin nx \big),         (1)

donde los coeficientes a_n, b_n de la serie están dados por las integrales

\displaystyle a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(x) dx,

\displaystyle a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x) \cos nx dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\sin nx dx, \quad n\ge 1.

El objetivo de la serie de Fourier es descomponer una función periódica f en funciones trigonométricas \cos nx, \sin nx, las cuales toman el papel de funciones periódicas “fundamentales”.  Aunque la definición de esta serie, así como el cálculo de los coeficientes, se puede rastrear hasta el trabajo de Leonhard Euler, fue Joseph Fourier el primero en darse cuenta que dicha descomposición en funciones trigonométricas sería útil para resolver problemas que involucran ecuaciones diferenciales parciales (en particular, la ecuación de calor), además de creer que cualquier función “apropiada” se puede descomponer de tal manera.

Es en esta creencia donde la puerca tuerce el rabo, y fue motivo de polémica durante todo el siglo XIX. Más aún, la discusión sobre si una función está representada o no por su serie de Fourier (llamada así en honor a Joseph) motivó gran parte del desarrollo de las matemáticas durante ese siglo, desde la teoría de integración (de Riemann hasta Lebesgue), hasta la teoría de conjuntos de Cantor.

No fue sino hasta 1900, cuando un joven húngaro de 20 años, que pasaba un año en Berlín bajo la tutela de Hermann Schwarz, publicó un resultado que influiría en el estudio de la convergencia de las series de Fourier durante todo el siglo XX. Su nombre era Lipót Fejér, estudiante de matemáticas en la Universidad Politécnica de Budapest.

La convergencia de la serie (1) está determinada por la convergencia de la sucesión de sumas parciales

\displaystyle s_N(x) = \sum_{n=0}^N \big( a_n \cos nx + b_n \sin nx \big),

es decir, la sucesión que resulta de sumar término a término la serie. Sin embargo, la convergencia de s_N(x) para cada x es un problema sumamente difícil, y no fue comprendido sino hasta la década de los 1960.

Fejér tomó, en lugar de s_N(x), la sucesión de promedios de s_N(x),

\sigma_N(x) = \dfrac{s_0(x) + s_1(x) + \ldots + s_{N-1}(x)}{N}.

La sucesión de promedios \sigma_N había sido estudiada unas décadas antes por el matemático italiano Ernesto Cesàro. Es fácil observar que, si la sucesión s_N converge, digamos s_N\to s, entonces también lo hace \sigma_N y, además, \sigma_N\to s.

Fejér, en el artículo Sur les fonctions bornées et intégrables (Comptes Rendus Hebdomadaries, Seances de l’Academie de Sciences, Paris 131 (1900), 984-987), demostró el siguiente teorema.

Teorema. Sea f una función acotada integrable (en el sentido de Riemann) en el intervalo [0,2\pi]. Entonces, en los puntos x donde la función es continua (o posee una discontinuidad de salto, donde los límites por la derecha f(x^+) e izquierda f(x^-) existen), entonces la sucesión \sigma_N(x) converge a f(x) (o a \frac{1}{2}(f(x^+) + f(x^-)), respectivamente).

La demostración se sigue de la observación

\displaystyle \sigma_N(x) = \frac{1}{2\pi N}\int_0^{2\pi} f(y) \frac{1 - \cos N(x-y)}{1 - \cos (x-y)} dy,        (2)

que se obtiene de las propiedades básicas de las funciones trigonométricas.

El truco ahora consiste entonces en separar la integral (2) en tres partes,

\displaystyle \frac{1}{2\pi N}\int_0^{x-\delta} + \frac{1}{2\pi N}\int_{x-\delta}^{x+\delta} + \frac{1}{2\pi N}\int_{x+\delta}^{2\pi},

donde \delta>0 es un número suficientemente pequeño. Observamos que la primer y tercer integrales tienden a cero cuando N\to\infty, porque el integrando es acotado ya que f es acotada y

\dfrac{1 - \cos N(x-y)}{1 - \cos (x-y)} \le \dfrac{2}{1 - \cos\delta},

si |x-y|>\delta, en el intervalo [0,2\pi]. Más aún, si f es continua en x y \delta>0 es suficientemente pequeño, entonces f(y)\approx f(x) y entonces la segunda integral

\displaystyle \frac{1}{2\pi N}\int_{x-\delta}^{x+\delta} f(y) \frac{1 - \cos N(x-y)}{1 - \cos (x-y)} dy\approx \frac{f(x)}{2\pi N}\int_{x-\delta}^{x+\delta} \frac{1 - \cos N(x-y)}{1 - \cos (x-y)} dy.

(3)

De nuevo, observamos que la integral a la derecha de (3) puede ser escrita como

\displaystyle \frac{1}{2\pi N}\int_{x-\delta}^{x+\delta} = \frac{1}{2\pi N}\int_0^{2\pi} - \Big( \frac{1}{2\pi N}\int_0^{x-\delta} + \frac{1}{2\pi N}\int_{x+\delta}^{2\pi}\Big),

y nuevamente observamos que las dos últimas integrales tienden a cero cuando N\to\infty. Entonces, utilizando además el hecho que

\displaystyle \frac{1}{2\pi N}\int_0^{2\pi} \frac{1 - \cos N(x-y)}{1 - \cos (x-y)} dy = 1,

(recordemos que el integrando es un promedio de sumas de senos y cosenos, con integral igual a cero excepto en el caso constante n=0), podemos concluir que \sigma_N(x)\to f(x) cuando N\to\infty.

Si la función tiene una discontinuidad de salto en x, la demostración se sigue prácticamente igual, excepto por el hecho que debemos aproximar (3) con dos integrales, una para el límite por la derecha f(x^+) y otra para el de la izquierda f(x^-). Con esto queda demostrado el teorema.

La identidad (2), así como su descomposición en integrales “cerca” y “lejos” de un punto x, es análoga a la utilizada por Weierstrass para demostrar, unos 15 años antes, su célebre teorema sobre la aproximación de funciones continuas por polinomios en un intervalo cerrado (en mis notas de análisis real se pueden leer los detalles con notación moderna).

Dos corolarios del teorema de Fejér (incluidos en su tesis doctoral de 1902) marcan la gran importancia de este resultado. Primero, el teorema responde una pregunta fundamental sobre la convergencia de series de Fourier: implica que, si la serie de Fourier de una función f, continua en x, converge, entonces necesariamente converge a f(x). Es decir, la serie de Fourier no puede tener otro límite más que la función f, si es continua.

Segundo, el teorema de Fejér implica que una función continua puede ser aproximada uniformemente por un polinomio trigonométrico (polinomio en senos y cosenos), extendiendo el teorema de Weierstrass mencionado anteriormente. Hay que resaltar que esta demostración es constructiva (el polinomio de aproximación de grado n es el promedio de Cesàro de n sumandos) y que, además, provee una nueva demostración al teorema de Weierstrass (insisto, constructiva).

Pero son las consecuencias indirectas las que llevan al teorema de Fejér a definir el análisis armónico moderno: el estudio de la convergencia de la serie de Fourier a través de métodos de sumabilidad (los promedios de Cesàro son uno de tales métodos), el estudio de operadores integrales (la integral (2) describe uno de ellos), la aplicación de aproximaciones a la identidad al estudio de ecuaciones diferenciales parciales (en particular la ecuación de Poisson), entre otros.

Fejér fue profesor en la Universidad de Budapest de 1911 a 1944, cuando fue obligado a retirarse por los nazis. Durante su tiempo contribuyó a desarrollar la “escuela húngara” de matemáticas, tremendamente influyente durante buena parte del siglo XX. Entre los estudiantes de Fejér se encuentran Marcel Riesz, George Pólya, Gabor Szegö, Paul Erdös y John von Neumann.

About these ads

Un Comentario

  1. Pingback: El teorema de la semana: el del binomio


Deja un comentario

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s