Aunque sin muchos detalles, habíamos mencionado el teorema del límite central en este blog cuando discutimos un supuesto método de apuestas infalibles. Al comparar las ganancias promedio simulando muchos juegos, obtuvimos la gráfica

 Vemos que la gráfica aproxima una curva simétrica, concentrada en el centro y que decrece suavemente hacia los extremos, de hecho, muy parecida a la gráfica de la función de densidad de la distribución normal, también conocida como la gaussiana, dada por la función

con gráfica

La historia de la distribución normal se remonta al siglo XVIII. El matemático francés Abraham De Moivre fue el primero en observar que la normal aproximaba la distribución de resultados de lanzar una moneda. Luego Pierre Simon Laplace, casi 100 años después, redescubrió el trabajo de De Moivre y mostró que la normal es una buena aproximación de la distribución binomial, cuando el número de experimentos es grande.

Sin embargo, el enunciado general del teorema no llegó sino hasta el inicio del siglo XX, desarrollado por Aleksandr Lyapunov, quien además dio una demostración precisa de él.

Suponemos que tenemos una sucesión de variables aleatorias , igualmente distribuidas e independientes, que podemos ver como los resultados de un experimento que se repite muchas veces. La distribución en sí no importa, aunque suponemos que su media (valor esperado) es y su desviación estándar (la raíz cuadrada de su varianza, es decir, la diferencia entre el valor esperado de su cuadrado y el cuadrado de su valor esperado) es .

La diferencia entre el valor y su media, , puede ser interpretado como el “error” de la -ésima observación. Si estamos interesados en la distribución acumulativa de este error conforme repetimos el experimento, entonces debemos estudiar el comportamiento de la suma

conforme . El teorema del límite central nos dice cómo se comporta.

Teorema del límite central. Sea  una sucesión de variables aleatorias  igualmente distribuidas e independientes con media y desviación estándar   Entonces, para , cuando

En otras palabras, la distribución de converge a una distribución normal.

Debemos resaltar el hecho que la distribución de las variables aleatorias es irrelevante para el teorema. De hecho, las variables incluso podrían ser acotadas, o discretas y con un número finito de valores, y aún así el cociente  converge a una distribución normal. Observamos también el término en el denominador, lo cual implica que la exactitud de la aproximación con la normal mejora en proporción de .

Si recordamos que la distribución normal tiene media 0 y desviación estándar 1, entonces, la proporción de la distribución a una desviación estándar es

,

es decir, un 68.3%. Comúnmente, a esa proporción se le suele llamar “a un sigma”. A dos sigmas, tenemos

,

o sea, un 95.5%. A tres sigmas tenemos 99.8%, a cuatro sigmas 99.994%, a cinco sigmas 99.99994%, y así sucesivamente. El empleo de la notación “sigmas” es muy útil en la literatura científica, y denota el nivel de confianza del resultado de un experimento (es decir, qué tan probable es que nuestro resultado sea producto solo del azar, y no de alguna propiedad de la naturaleza).

Como ejemplo, consideremos las probabilidades de que cada nacimiento sea de un hombre o una mujer. Comúnmente, asumimos que la probabilidad es la misma: 1/2 para cada uno. ¿Cómo podemos comprobarlo?

Tomemos, por ejemplo, el número de nacimientos ocurridos en México en el año 2009. Según el INEGI, en ese año nacieron 1,296,770 hombres y 1, 279,883 mujeres. Como vemos, la diferencia es de 16,887 entre nacimientos masculinos y femeninos. ¿Cuál es la probabilidad de tener una diferencia de tal magnitud, si la probabilidad de un nacimiento de cada sexo fuera la misma?

Para cada nacimiento, definimos la variable como 1 si nace hombre, o 0 si nace mujer. Así, si la probabilidad de un nacimiento de un sexo u otro es 1/2, entonces

y ,

por las propiedades de la distribución de Bernoulli. Así, tenemos que , y

Tenemos entonces que la probabilidad de que este cociente sea al menos es igual a

.

 En otras palabras, imposible. La probabilidad de que nazca un hombre debe ser mayor que la que nazca una mujer.

¿Qué tanto? También podemos usar el teorema del límite central para calcularlo. De hecho, con una confianza de 3 sigmas (o sea, 99.8%), esta probabilidad es de

.

Apenas unas milésimas mayor que 1/2, pero suficiente para causar varios miles de nacimientos de diferencia.

Para teoremas anteriores: teorema de la semana.

Esta entrada también participa en la edición 2.X del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Resistencia Numantina.

No solo discuten su irracionalidad, al mostrar la conocida demostración de que no existen dos enteros tales que , sino que además mencionan su relación con los tamaños estándar europeos de papel A4, A3, etc.

Por definición, el tamaño A0 es el rectángulo con área 1 m² tal que, al cortar su lado más largo por la mitad, la proporción entre sus lados se conserva. Así, si el papel mide de ancho y de largo, entonces

y .

De la segunda ecuación obtenemos que ; así, por la primera, o m, o 841 milímetros, y m, o 1189 milímetros. Una vez definido A0, A1 es el tamaño con el lado más largo de A0 a la mitad, y así sucesivamente.

De esta forma, el tamaño A0 corresponde al de 841×1189 mm, el tamaño A1 corresponde a 594×841 mm, el A2 a 420×594 mm, el A3 a 297×420 mm, el A4 a 210×297 mm, etc.

En el continente americano, nuestro tamaño estándar de documentos es el tamaño carta, que corresponde a 8.5×11 pulgadas, o 216×279 mm. La diferencia de casi dos centímetros en el largo entre el tamaño carta y el A4, a veces, provoca incompatibilidad a la ahora de imprimir artículos escritos en Europa en impresoras americanas. Si no lo hacemos con cuidado, una que otra ecuación al borde del documento vuela en el proceso.

Ahí les dejo el video.

Vaya esta entrada a la edición 2.X del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Resistencia Numantina.

Los de Numberphile le dedicaron un video a este hecho, con una entrevista a James Grimme.

Vaya esta entrada a la edición 2.X del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Resistencia Numantina.

por su brillante e innovador trabajo en análisis armónico, ecuaciones diferenciales parciales, teoría ergódica, teoría de números, combinatoria, análisis funcional, y la teoría de ciencias computacionales

El comunicado de prensa oficial: The Crafoord Prize in Mathematics 2012 and The Crafoord Prize in Astronomy 2012.

De Wulffmorgenthaler.

De SMBC. Haz click en la imagen para ver el cartón completo.

Ya antes habíamos discutido en Series divergentes a los primos de Mersenne, así como su relación con los números perfectos.

Veo que, en Ecuador, apareció un caso similar. Según elcomercio.com, en la nota Este ingeniero civil aporta a las teorías matemáticas, Jorge Zedeño, de la Pontificia Universidad Católica del Ecuador, ”descubrió hace dos años que existe una forma de resolver todas las ecuaciones diferenciales ordinarias“. Más aún, como sucede ante tales descubrimientos, “rompiendo así el dogma creado por 38 matemáticos del mundo, que no todas las ecuaciones de ese tipo tenían solución y hasta hoy así se lo había enseñado a los alumnos“. ¡Ay, güey!

Me pregunto quiénes serán los malvados 38 matemáticos (apostaría que tiene una lista de ellos) que crearon el “dogma” de que no todas las ecuaciones se pueden resolver, y que por maloras así se lo habrían dicho a sus muchachos. Pobres.

Si quieren divertirse, su trabajo está disponible en PDF. No se vayan a decepcionar si solo ven en su teoría el caso de ecuaciones lineales, o si solo ven expansiones en series de las soluciones, o si el único ejemplo considerado es el sistema . Lo mejor viene al final: una “legalización” ante notario del trabajo, no se lo vayan a robar. ¡Ja, ja!

Auborn Pride, de George Voulgaropoulos

El fotoblog The Big Picture publicó una colección de fotografías ganadoras del concurso National Geographic Photo Contest 2011.

A la derecha, una fotografía de George Voulgaropoulos, que recibió mención honorífica en la categoría Gente.

Existen cuatro números narcisistas de tres dígitos: 153, 370, 371 y 407. De cuatro dígitos existen tres, el mínimo de ellos es 1634:

En el video mencionan al 8208, y el tercero de ellos es 9474.

Es fácil ver que solo existe un número finito de números narcisistas: la máxima suma de las -ésimas potencias de los dígitos de un número de dígitos es, desde luego, la suma de -ésimas potencias de 9. Claramente, existe un número tal que

                    (*)

para todo , por lo que no puede haber números narcisistas de o más dígitos. De hecho, la desigualdad (*) es cierta para .

Solo existen 88 números narcisistas. Lo dos más grandes tienen 39 dígitos: 115132219018763992565095597973971522400 y 115132219018763992565095597973971522401.

Estos números también pueden ser definidos en bases distintas a 10. Por ejemplo, en base 2, el único número narcisista es el 1. En base 3, tenemos, además de los dígitos 1 y 2, el 5 (12 en base 3), 8 (22 en base 3) y 17 (122 en base 3). Tablas con los números narcisistas en las bases de 4 a 9 se pueden ver en la enciclopedia online de sucesiones enteras: A010344, A010346, A010348, A010350, A010354,  y A010353.