Para ver más fotografías premiadas en diversas categorías, ir al enlace: 2013 Sony World Photography Awards Winners.

Nota en The Guardian: Utøya: after the massacre.

Por cierto, su tabla periódica ya se encuentra actualizada: The Periodic Table of Irrational Nonsense Ver 3.0.

El problema consiste en lo siguiente: supongamos que queremos formar parejas entre hombres y mujeres de un grupo de personas. Cada hombre conoce a cierto número de mujeres y cada mujer conoce a cierto número de hombres, y suponemos que la acción de conocer a alguien es mutua. ¿Podemos formar dichas parejas de tal forma que todos se apareen con un conocido?

En términos de la teoría de grafos, podemos representar el problema por medio de un grafo , donde cada persona es un vértice y la acción de conocer a alguien es una arista. No nos importa si las mujeres o los hombres se conocen entre sí, solo entre ellos, por lo que entonces los vértices del grafo están partidos en dos conjuntos y de tal forma que las aristas solo unen vértices entre ambos, como se ve en la figura de la derecha. A un grafo así se le llama un grafo bipartito. Un apareamiento perfecto en es una selección de aristas en el grafo bipartito (o sea, un subgrafo) tal que cada vértice de está unido a un solo vértice de . Por ejemplo, del grafo de la derecha podemos construir el apareamiento perfecto descrito por las aristas rojas de la figura de la izquierda.

Podemos enunciar entonces el problema del matrimonio de la siguiente forma: dado un grafo bipartito , ¿podemos encontrar un apereamiento perfecto en ?

Está claro que la respuesta es no en general, y que ciertas hipótesis deben cumplirse en el grafo . Por ejemplo, el número de vértices en debe ser el mismo que en . Así que nos preguntamos, ¿cuáles son las hipótesis necesarias y suficientes para que un grafo bipartito tenga un apareamiento perfecto?

Podemos ver que una hipótesis necesaria es que, dado cierto número de vértices en , entonces dichos vértices deben tener, entre todos, al menos el mismo número de vértices vecinos (o sea, conectados por una arista) en para poder ser apareados. Claramente la hipótesis inversa es también necesaria: cualquier número de vértices en deben tener al menos el mismo número de vecinos en . Sin embargo, ambas hipótesis son equivalentes si y tienen el mismo número de vértices en total.

Las hipótesis descritas en los párrafos anteriores son necesarias pero, ¿son equivalentes? La respuesta es sí, y es el contenido del llamado teorema del matrimonio, mostrado por Philip Hall en 1935.

Teorema del matrimonio. Sea un grafo bipartito en igual número de vértices y . Entonces tiene un apareamiento perfecto si y solo si cada número de vértices en tiene al menos el mismo número de vértices vecinos en .

En la clase demostramos este teorema. La demostración no es muy técnica, aunque sí extensa como para este blog, y pareció agradarles a los estudiantes de preparatoria.

Para más entradas de mis clases: de mis clases.

Esta entrada participa en la edición 4.12 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es High Ability Dimension.

Entre todas destaca la cienciología, que mezcla todos los tipos de charlatanería.

En la red:

• Atribución (PDF)
• Biografía (PDF)
• The Work of Pierre Deligne, por Tim Gowers (PDF)
• Versiones para el público por Arne B. Sletsjøe: La conjetura de Weil, Módulos de curvas estables, Correspondecia Riemann-Hilbert.
• Pierre Deligne, en el IAS
• Belgian mathematician rewarded for shaping algebra, BBC News

Esta entrada participa en la edición 4.12 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es High Ability Dimension.

Más aún, los dominicanos terminan el torneo con un récord perfecto de ocho partidos ganados, la primera vez que sucede en los clásicos mundiales. De esos ocho, siete fueron salvados por Fernando Rodney, de los Tampa Bay Rays, que en la última entrada ponchó a los dos últimos jugadores. El único partido del torneo que no salvó Rodney fue el que ganaron contra Venezuela 9 carreras a 3.

El jugador más valioso del torneo fue Robinson Canó, que terminó con un promedio de bateo de .469, con 2 homeruns y 6 carreras impulsadas, además de pasar él mismo 6 veces por el home.

Termina el Clásico Mundial; de vuelta a ver los partidos del spring training.

Consideremos la ecuación

,

que describe al círculo unitario con centro en el origen en el plano. Una pregunta natural es la siguiente: ¿esta ecuación define a una de las coordenadas, digamos , como función de la otra, ? En otras palabras, ¿existe una función tal que los puntos describan las soluciones de esta ecuación?

La respuesta es no, de hecho, ya que para cada entre y , la ecuación tiene dos soluciones para ,

         y           ,

como se puede observar en la figura de la izquierda. Sin embargo, si nos acercamos a uno de dichos puntos, digamos  (figura de la derecha), entonces tal parece que la ecuación sí define a como función de . Decimos entonces que la ecuación define localmente a como función de alrededor del punto , solución de la ecuación.

¿Es posible hacer lo mismo alrededor de cada punto solución de la ecuación? De nuevo, la respuesta es no, como lo muestra la figura de la izquierda en un acercamiento al punto solución : no importa cuánto nos acerquemos a dicho punto, la ecuación siempre tendrá dos soluciones en para cada punto menor a (además, la ecuación no tiene solución si ). Así que la ecuación no define, ni localmente, a como una función de cerca del punto .

¿Cuál es la diferencia cualitativa entre el punto anterior y ? ¿Existe algún criterio que nos permita garantizar la definición implícita de como función de ?

Podemos hacer la pregunta en general: consideremos la ecuación

y un punto en el plano que resuelve la ecuación; es decir, . ¿Cuáles son las condiciones suficientes para garantizar que cerca del número podemos definir una función tal que ? La respuesta nos la da el teorema de esta semana.

Teorema de la función implícita. Sea una función continuamente diferenciable, un punto en su dominio tal que y . Entonces existe un intervalo alrededor de , digamos , y una función  diferenciable en , tal que  para todo .

En otras palabras, si el cambio instantáneo de con respecto a (la derivada parcial) no se anula en , la ecuación define a como función de alrededor de : .

La demostración de este teorema es técnica, y de hecho uno necesita un par de sesiones en clase para completar la demostración (debe hacerse junto a la demostración del teorema de la función inversa; ambos son equivalentes). Así que no es apropiada para este blog. Sin embargo, si regresamos a nuestro ejemplo original, este teorema nos permite responder las preguntas hechas más arriba sobre la diferencia cualitativa del punto del círculo y el resto.

En nuestro ejemplo la función está dada por

.

En tal caso, la derivada parcial con respecto a (es decir, la derivada considerando a como constante) en cada punto está dada por

Así, esta derivada se anula cuando , o sea en los puntos y . En dichos puntos, la tangente al círculo es vertical. En el resto, su tangente tiene una inclinación con pendiente bien definida. Esta diferencia la observamos en las dos figuras anteriores, y es fundamental para la existencia de la función implícita buscada.

Más teoremas de la semana: teorema de la semana.

Para más entradas de mis clases: de mis clases.

Esta entrada participa en la edición 4.12 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es High Ability Dimension.