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Teorema de la semana: el de Fejér

A partir de esta semana empezaré a publicar una serie de entradas con mis teoremas favoritos. Intentaré describir el teorema, su demostración (si no es demasiado técnica), su relevancia, así como el contexto histórico (matemáticamente hablando, desde luego) en el que fue obtenido.

No puedo asegurar que todas las semanas hablaré sobre un teorema, pero sí que cada teorema discutido aquí tendrá su semana.

Si f es una función periódica, digamos, con periodo 2\pi, su serie de Fourier está dada por

\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \big( a_n \cos nx + b_n \sin nx \big),         (1)

donde los coeficientes a_n, b_n de la serie están dados por las integrales

\displaystyle a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(x) dx,

\displaystyle a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x) \cos nx dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\sin nx dx, \quad n\ge 1.

El objetivo de la serie de Fourier es descomponer una función periódica f en funciones trigonométricas \cos nx, \sin nx, las cuales toman el papel de funciones periódicas “fundamentales”.  Aunque la definición de esta serie, así como el cálculo de los coeficientes, se puede rastrear hasta el trabajo de Leonhard Euler, fue Joseph Fourier el primero en darse cuenta que dicha descomposición en funciones trigonométricas sería útil para resolver problemas que involucran ecuaciones diferenciales parciales (en particular, la ecuación de calor), además de creer que cualquier función “apropiada” se puede descomponer de tal manera.

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