Series divergentes en la física

La semana pasada, The Gauge Connection hizo mención de un post de Lubos Motl donde comenta algunos usos de series divergentes en la física. En particular, comenta la identidad

1 + 2 + 3 + 4 + \ldots = -\dfrac{1}{12},

obtenida de la continuación analítica de la función zeta de Riemann

\displaystyle\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}

de \Re(s)>1 al plano perforado \mathbb C\setminus\{1\}, utilizando el hecho que \zeta(-1) = -\dfrac{1}{12}.

En un comentario en el mismo blog, Lubos menciona el clásico Divergent Series, de Hardy, y la serie

\displaystyle f(x) = 1 - 1! x + 2! x^2 - 3! x^3 \ldots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n n! x^n.

Esta serie diverge para todo x\not=0, y encantó a los primeros analistas del siglo XVIII. En particular, Euler llamó a la serie \sum_{n=0}^\infty (-1)^n n!  divergente por excelencia, como lo comenta Varadarajan en su artículo Euler and his work on infinite series, publicado en Bulletin of the AMS.

Euler observó que, si multiplicamos f por x, entonces las función g(x) = xf(x) satisface formalmente la ecuación

\displaystyle x^2 \frac{dg}{dx} + g = x,

que podemos resolver para obtener \displaystyle f(x) = \frac{1}{x}e^{1/x}\int_0^x \frac{e^{-1/t}}{t} dt. Podemos entonces definir la serie

\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^n n! = f(1) = \int_0^1 \frac{e^{1-1/t}}{t} dt \approx 0.596347.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s