¿Se quedan Indios en primera?

El novato en la liga de futbol mexicano profesional de la Primera División es Indios de Juárez, que ascendió apenas el torneo pasado. El semestre anterior, Torneo Apertura 2008 (A08), obtuvo 19 puntos de 54 posibles en 17 partidos, mientras que en este torneo, Clausura 2009 (C09), lleva 9 puntos, de 21 posibles en 7 partidos. Ya hemos contado la derrota de ayer contra Pachuca. Así que nos preguntamos, ¿de plano lo regresan a la segunda (Primera A) este mismo año?

Indios de Juárez no es el peor equipo en este torneo (de hecho se encuentra el lugar 11 de la tabla general). Sin embargo, las reglas de descenso del futbol profesional mexicano ponen en desventaja a los equipos recién ascendidos, ya que el porcentaje se calcula sobre los últimos tres torneos. Así, un equipo que ya estaba en primera, aunque tenga un pésimo torneo, su porcentaje no será tan bajo si en los dos anteriores no le fue tan mal.

En esta ocasión, el peor equipo del torneo es Necaxa, con sólo 2 puntos en 7 partidos (hoy perdió contra Cruz Azul). Aunque no ha sido el peor de los torneos anteriores, sí le ha ido lo suficientemente mal como para estar ahora en el último lugar de la tabla de porcentaje. Como sólo desciende un equipo cada año (otro asunto más para contribuir a la mediocridad del futbol mexicano), Indios se salvaría si, al menos, obtiene un porcentaje más alto que Necaxa (independientemente de si Necaxa desciende o no).

Vamos a aproximar la probabilidad de que esto suceda. Una estimación sobre el número de puntos posibles en el resto del torneo se puede obtener sobre el promedio de puntos en A08 y C09 hasta ahora: Indios lleva 28 puntos en 24 partidos (28/24 \approx 1.1667 por partido), mientras que Necaxa lleva 19 puntos en 24 partidos (19/24 \approx 0.7917 por partido). Así que el número esperado de puntos que puede hacer Indios en el resto del torneo es \lambda_I = \frac{28}{24}\times10 \approx 11.667, mientras que para Necaxa es \lambda_N = \frac{19}{24}\times 10 \approx 7.9167.

Modelamos entonces los puntos de Indios y Necaxa en el resto del torneo con un proceso de Poisson, con medias \lambda_I y \lambda_N, respectivamente. Un proceso de Poisson X es un proceso estocástico (aleatorio) en la que los eventos ocurren, de manera independiente, con una frecuencia \lambda por unidad de tiempo. La probabilidad de que ocurran n eventos es entonces

\displaystyle P(X = n) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^n}{n!}.

Entonces, las distribuciones de los puntos X_I de Indios y X_N de Necaxa son

\displaystyle P(X_I = n) = \frac{e^{-\lambda_I} \lambda_I^n/n!}{\sum_{k=0}^{30} e^{-\lambda_I} \lambda_I^k/k!}, \qquad 0 \le n \le 30,

\displaystyle P(X_N = n) = \frac{e^{-\lambda_N} \lambda_N^n/n!}{\sum_{k=0}^{30} e^{-\lambda_N} \lambda_N^k/k!}, \qquad 0 \le n \le 30,

donde hemos normalizado sobre el número máximo de puntos posibles para el resto del torneo: 30 en 10 partidos.

Si Necaxa obtiene n puntos, entonces su porcentaje será \dfrac{98 + n}{102}, ya que actualmente tiene 98 puntos en los últimos tres años. Así, Indios necesita entonces más de \Big\lfloor\dfrac{98 + n}{102}\times 34\Big\rfloor puntos para superar al Necaxa, donde \lfloor\alpha\rfloor es el mayor entero menor o igual a \alpha. Como Indios ya lleva 28 puntos, necesita entonces hacer más de  \Big\lfloor\dfrac{98 + n}{102}\times 34\Big\rfloor - 28 puntos.

Entonces, ahora sí podemos aproximar la probabilidad de que Indios obtenga un porcentaje más alto que Necaxa: Está dada por

\displaystyle \sum_{n=0}^{30} P\Big( X_I > \Big\lfloor\dfrac{98 + n}{102}\times 34\Big\rfloor - 28 \Big) P(X_N = n) \approx .6670.

Así que la probabilidad de Indios se mantenga en Primera es al menos de 66.7%. Similarmente, podemos repetir los cálculos con el Puebla, penúltimo en la tabla de porcentaje. No repetiré los cálculos, pero los mismos llevan a que la probabilidad de que Indios supere a Puebla es .6046, o sea del 60.5%. Como Indios debe superar, al menos, a uno de los dos, entonces la probabilidad de que Indios se mantenga en Primera es al menos

1 - (1 - .6670)(1 - .6046) \approx 0.8683.

Entonces, la probabilidad de que Indios se quede en Primera es al menos 86.8%. Yo apostaría a que se queda.

3 comentarios en “¿Se quedan Indios en primera?

  1. Pingback: Indios NO se va!!!

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