Intereses de tarjetas de crédito

Por segundo mes consecutivo, el estado de cuenta de una de mis tarjetas de crédito afirma

Para saldar su cuenta: 20 pagos como el mínimo.

Eit, ajá. En efecto, como el pago mínimo del mes corresponde al 5% del saldo, es decir, una vigésima parte de la deuda, con 20 pagos como el mínimo uno cubre su totalidad. Pero eso en el caso de pagarlos todos al mismo tiempo. Convenientemente olvidaron agregar los intereses que se generan cada mes, que casi equivalen a tal pago mínimo.

El mes pasado asumí la posibilidad de que sólo había sido un error tipográfico: En los meses anteriores, el estado de cuenta afirmaba que para saldar la cuenta se requieren «201 pagos como el mínimo». Así que «sólo les faltó el 1». Eit, pero de 20 a 201 son 180 meses de diferencia, 15 años y muchos miles de pesos en intereses.

Veamos cómo se calcula el número de pagos requerido para saldar una cuenta, tomando en cuenta la tasa de interés y asumiendo pagos fijos.

Supongamos que la deuda inicial (el capital) es $C$ , y cada unidad de tiempo (cada mes, por ejemplo), se paga una cantidad $P$ . Si $C_n$ representa la deuda después de $n$ pagos, entonces tenemos

$C_{n+1} = (1+r)C_n - P,$

donde $r$ es la tasa de interés por unidad de tiempo. En la fórmula anterior asumimos que el pago se realiza al final del periodo de pago, por lo que se carga el interés sobre la deuda y luego se reduce el pago. Si por el contrario, el pago se realiza al inicio del periodo, entonces la fórmula debe ser $C_{n+1} = (1+r)(C_n - P),$ es decir, debemos cargar el interés sobre la cantidad restante después de haber pagado.

Asumiremos que los pagos se realizan al final del mes. Por ejemplo, después del primer pago la deuda es

$C_1 = (1+r)C - P,$

y después del segundo

$C_2 = (1+r)C_1 - P = (1+r)\big( (1+r)C-P\big) - P = (1+r)^2C - \big((1+r)+1\big)P.$

Inductivamente, después del $n$ -ésimo pago la deuda es igual a

$C_n = (1+r)^n C - \big( (1+r)^{n-1} + \ldots + 1 \big) P = (1+r)^n C - \dfrac{(1+r)^n - 1}{r} P.$

La deuda estará saldada cuando $C_n = 0$ . Para tal $n$ tenemos

$(1+r)^n C = \dfrac{(1+r)^n - 1}{r} P$ ,

o sea

$(1+r)^n = \dfrac{P}{P-rC}.$

Notamos que esta ecuación sólo tiene sentido si $P-rC>0$ , es decir, si el pago es mayor a los intereses cargados a la deuda. De otra forma, nunca se saldará. Así, tenemos

$n = \dfrac{\log\dfrac{P}{P-rC}}{\log(1+r)}.$

Por ejemplo, con una deuda inicial de C=5,000, y con pagos de P=250 (la vigésima parte de la deuda), y con una tasa aual de 50% (lo «normal» en las tarjeta de crédito mexicanas), entonces $r = .5/12 \approx .04167$ , tenemos $n\approx 43.892$ , o sea, la deuda se salda en 44 pagos, algo lejos de los «20 pagos» que afirma el estado de cuenta.

El resultado anterior se obtiene, sin embargo, si los pagos son siempre de la misma cantidad (250 en el ejemplo). Sin embargo, el pago mínimo requerido en las tarjetas de crédito no es constante, sino que siempre corresponde a la vigésima parte de la deuda (o una cantidad mínima, por lo general de 100 o 150 pesos). Es decir, en nuestra ecuación, el pago $P$ depende de la cantidad que se debe.

Así que debemos corregir $P$ a

$P = \begin{cases}\dfrac{C_n}{20} & \text{si }\dfrac{C_n}{20} > m\\m & \text{de otra forma,}\end{cases}$

donde $m$ es el pago mínimo absoluto por mes. Entonces, si los pagos son mayores a $m,$ tenemos

$C_{n+1} = (1+r)C_n - \dfrac{1}{20}C_n = \Big(1+r-\dfrac{1}{20}\Big)C_n,$

y si son iguales a $m$ tenemos

$C_{n+1} = (1+r)C_n - m,$

igual a nuestra primer ecuación. Así que, mientras pagamos la vigésima parte de $C_n$ (es decir, mientras los pagos son mayores a $m$ ), tenemos

$C_n = \Big(1 + r - \dfrac{1}{20}\Big)^nC, \qquad n\le N,$

y después

$C_n = (1+r)^{n-N}C_{N} - \dfrac{(1+r)^{n-N} - 1}{r} m, \qquad n > N,$

donde $N$ es el mínimo $n$ en que $C_n/20 \le m$ , y $C_N$ es la deuda después de $N$ pagos.

Para resolver para $n$ , resolvemos la ecuación $\dfrac{C_n}{20} = m$ , o sea

$\Big(1+r-\dfrac{1}{20}\Big)^n C = 20m,$

y entonces

$n = \dfrac{\log\dfrac{20m}{C}}{\log\Big(1+r-\dfrac{1}{20}\Big)}.$

Para finalizar el pago, resolvemos entonces para $n$ en $C_n = 0$ , o sea

$n = N + \dfrac{\log\dfrac{m}{m-rC_N}}{\log(1+r)},$

donde hemos utilizado la fórmula calculada anteriormente porque ya se realizan pagos fijos de $m.$

Por ejemplo, para una deuda inicial de C=5,000 y una tasa de interés de 50% anual, si la tarjeta requiere un mínimo no menor de m=100, pagaremos la vigésima parte durante $N= 110$ meses, y entonces la deuda terminará saldada en 154 meses.

Un comentario sobre "Intereses de tarjetas de crédito"

Jeff dice:

25 octubre, 2010 a las 5:06 pm

Aquí está un nuevo vídeo en el uso de las tarjetas de crédito.

«Card Tricks Revealed: How Not To Burn Money»

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