¿Se quedan Indios en primera? II

Anteriormente, en ¿Se quedan Indios en primera?, estimamos la probabilidad de que Indios de Juárez se mantuviera dentro de la Primera División mexicana de futbol. En aquél entonces estimamos la probabilidad como mayor a  85%, con 67% de probabilidad de ganarle al Necaxa, solamente, y con 60% de ganarle a Puebla en el porcentaje de descenso. A sólo dos temporadas de finalizar el torneo, actualizaremos este cálculo.

Varias cosas han cambiado en las últimas 7 jornadas. Puebla, por ejemplo, aún perdiendo el resto de los partidos, no va a descender, ya que su porcentaje mínimo es 77/68 = 1.1324, mientras que el porcentaje máximo de Necaxa es 115/102 = 1.1275, así que al menos quedará sobre Necaxa.

Juárez, sin embargo, no tiene segura su permanencia. Si perdiera sus dos partidos restantes, su porcentaje final será 36/34=1.0588, el cual será más bajo que el de Necaxa aún si pierde el resto, ya que será 109/102=1.0686. Sin embargo, si Juárez lograra 3 puntos (1 ganado), entonces terminará con 39/34=1.1471, suficiente para terminar sobre Necaxa.

La vez pasada estimamos las probabilidades utilizando un modelo de Poisson sobre el número de puntos finales, a través de un promedio simple de los puntos obtenidos en los torneos Apertura 2008 (A8) y Clausura 2009 (C9). Sin embargo, cómo sólo quedan dos partidos por jugar, podemos ser más sutiles y hacerlo a través del número de goles, tomando en cuenta los partidos anteriores del C9.

Por ejemplo, Juárez jugará sus dos partidos contra Cruz Azul y Guadalajara. No es muy preciso asumir que Juárez tiene las mismas posibilidades de éxito con Cruz Azul que con Guadalajara, si tomamos en cuenta que Cruz Azul está ubicado ahora en el último lugar de la competencia.

Así que haremos la estimación de la media de goles, por partido, tomando en cuenta los resultados anteriores. Por ejemplo, Cruz Azul perdió con Puebla 2 goles a 1, mientras que Juárez le ganó (hoy, precisamente) 2 goles a 0. Así que, si Juárez le metió 2 goles a Puebla y Puebla otros 2 a Cruz Azul, entonces, el promedio de los goles que Juárez le anota a Cruz Azul respecto a Puebla es \dfrac{2+2}{2}=2 goles. Y, como Cruz Azul le anotó a Puebla 1 gol y Puebla 0 a Juárez, en promedio, respecto a Puebla, es \dfrac{1+0}{2}=.5 goles.

De esa forma, considerando todos los partidos anteriores con equipos en común entre Cruz Azul y Juárez, Juárez le anota en promedio \lambda_{JC}=\dfrac{42}{28} = 1.5 goles a Cruz Azul, mientras que Cruz Azul le anota \lambda_{CJ} = \dfrac{40}{28}\approx 1.42857 a Juárez.

Modelamos entonces el número de goles que anotarán Indios y Cruz Azul con un modelo de Poisson, es decir, el número de goles X tiene la distribución

P(X=n) = e^{-\lambda} \dfrac{\lambda^n}{n!},

donde \lambda es el promedio del modelo. Entonces, si X_{JC} y X_{CJ} son el número de goles que anotan Indios y Cruz Azul, respectivamente, tenemos que la probabilidad de que gane Indios es

\displaystyle P(X_{JC}>X_{CJ}) = \sum_{n=0}^\infty P(X_{CJ}=n)P(X_{JC}>n) \approx .3928.

La probabilidad de que Cruz Azul gane es

\displaystyle P(X_{CJ}<X_{JC}) = \sum_{n=0}^\infty P(X_{JC}=n)P(X_{CJ}>n) \approx .3610,

y la probabilidad de que empaten es

\displaystyle P(X_{JC}=X_{CJ})=\sum_{n=0}^\infty P(X_{JC}=n)P(X_{CJ}=n) \approx .2462.

De manera similar, el promedio entre Juárez y Guadalajara es \lambda_{JG}=\lambda_{GJ}=\dfrac{39}{28}\approx 1.39286. Entonces, la probabilidad que gane uno u otro es .3732, mientras que la probabilidad que empaten es .2536.

De igual forma, calculamos los promedios de goles entre Necaxa y Atlante: \lambda_{NAt}=\dfrac{32}{28}\approx 1.14286, \lambda_{AtN}=\dfrac{38}{28}\approx 1.35714. Los promedios entre Necaxa y América son \lambda_{NAm}=\dfrac{38}{28}\approx 1.35714 y \lambda_{AmN}=\dfrac{45}{28}\approx 1.60714

Entonces, las probabilidades de que gane Necaxa a Atlante, empaten, o gane Atlante son, respectivamente, .3150, .2682 y .4169. Con América son, respectivamente, .3236, .2426 y .4338.

Habíamos observado que, conque Juárez obtuviera tres puntos, entonces terminaría sobre Necaxa. Esto ocurre con probabilidad 61.94\%. Así, la probabilidad de que Indios permanezca en Primera es al menos 61.94\%.

Sin embargo, tomando en cuenta todos los resultados posibles, y el porcentaje obtenido en cada resultado, tenemos que Juárez le gana a Necaxa con probabilidad 74.85\%. Yo seguiría apostando a que Juárez se queda.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s