El ejemplo de la mosca

Hoy, en mi clase de cálculo, estudiamos como ejemplo de una serie la que aparece del siguiente problema.

Una mosca vuela entre dos ciclistas, cada uno avanzando en dirección opuesta a 20 km/h. La mosca vuela de uno de ellos en la dirección del otro, y cada vez que llega a él regresa y vuela al primero. Si la mosca vuela entre los dos hasta que los ciclistas se encuentran, su velocidad es de 30 km/h y la distancia inicial entre los ciclistas es 10 km, ¿cuál es la distancia total que vuela la mosca?

En el primer vuelo, la mosca parte junto con el primer ciclista para encontrarse con el segundo. Si esto ocurre en el tiempo T, entonces satisface 30 T = 10 - 20 T, porque el segundo ciclista parte de una distancia de 10km, y en dirección opuesta. Entonces tenemos

T = \dfrac{10}{50} = \dfrac{1}{5},

o sea 12 min. Por lo tanto, durante el primer vuelo, la mosca recorrió 30\times\dfrac{1}{5}= 6\text{km}.

Para el segundo vuelo, las bicicletas ya han avanzado 20\times\dfrac{1}{5}=4\text{km} cada una, así que ya sólo hay 2km entre ellas. Entonces, si T es ahora el tiempo que le toma a la mosca en regresar al primer ciclista, satisface 20T = 2 - 30 T, o sea

T = \dfrac{2}{50} = \dfrac{1}{25}.

Así que ahora la mosca recorre 30\times \dfrac{1}{25} = \dfrac{6}{5}\text{km}.

No es difícil ver que el tiempo que le toma a la mosca en llegar a cada ciclista, en cada vuelo, es siempre 5 veces menor al vuelo anterior. Así que, en total, la mosca vuela

6 + \dfrac{6}{5} + \dfrac{6}{25} + \ldots + \dfrac{6}{5^n} + \ldots = 6\Big( 1 + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5^2} + \dfrac{1}{5^3} + \ldots \Big)

= 6\times\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{5}} = 6\times\dfrac{5}{4} = 7.5\text{km}.

Así que la mosca recorre en total 7.5km. Aquí hemos usado la suma de una serie geométrica,

1 + x + x^2 + x^3 + \ldots = \dfrac{1}{1-x},

si |x| < 1. Este es un buen ejemplo donde aparece esta serie.

Sin embargo, el problema también se puede pensar así: Los ciclistas, como viajan a la misma velocidad (20km/h), se encuentran en el punto medio entre ellos, es decir, a 5km de donde partieron. Esto les toma \dfrac{5\text{km}}{20\text{km/h}}=\dfrac{1}{4}\text{h}. En \dfrac{1}{4}\text{h}, la mosca, a una velocidad de 30km/h, avanza entonces

30\text{km/h} \times \dfrac{1}{4}\text{h} = 7.5\text{km}.

Así que el problema es mucho más fácil de lo que parece, pero uno se va con la finta y lo intenta resolver sumando una serie. Entre los matemáticos, la segunda forma de resolverlo es vista más con un “truco”, que como la solución “natural”.

John von Neumann tenía fama de poseer una gran capacidad para hacer cálculos mentalmente. Cuenta la leyenda que, cuando le propusieron a von Neumann el problema de la mosca, él contestó inmediatamente “7.5km”. –Ya te sabías el truco, ¿verdad?– preguntó quien le había planteado el problema. Von Neumann sólo contestó:

¿Cuál truco? Sólo tienes que sumar una serie, ¿no?

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