Velocidad terminal

Hace unos días, en Migui.com, publicaron la entrada ¿Por qué da igual caer de un piso décimo que de un piso cincuenta?, donde hablan sobre velocidad terminal. Aunque no es cierto que da lo mismo diez pisos o cincuenta (como lo notó la mula Francis), sí es cierto que un objeto moviéndose dentro de un fluído viscoso (el aire, por ejemplo) bajo una fuerza constante (la de gravedad, por ejemplo), alcanzará una velocidad límite, o terminal.

Un objeto, en caída libre, por ejemplo, alcanza su velocidad límite cuando la fuerza de gravedad es igual a la fuerza de arrastre, opuesta a su movimiento. Esta fuerza de arrastre es directamente proporcional, y opuesta, al cuadrado de la magnitud de la velocidad del cuerpo,

F_a = k v^2.

La constante k depende de diversos parámetros, como la densidad del fluído y el área seccional del objeto en movimiento. Por la primera ley de Newton, si la fuerza de arrastre F_a es igual a la fuerza de gravedad F_g = mg, entonces la velocidad del objeto es constante. Por lo tanto, la velocidad terminal v_T satisface

mg = k v_T^2,

y por lo tanto

v_T = \sqrt{\dfrac{mg}{k}}.

Una pregunta interesante es cuál es la rapidez con la cual un objeto alcanza esta velocidad terminal, y no es muy difícil mostrar que lo hace exponencialmente, como lo hacemos a continuación.

Por la segunda ley de Newton, la aceleración \dot{v} = \dfrac{dv}{dt} del objeto en caída libre satisface

m \dot{v} = F_a - F_g = k v^2 - gm,

donde notamos no solo que las fuerzas actúan en direcciones opuestas, sino que hemos tomado la dirección positiva hacia arriba. No es muy difícil resolver esta ecuación diferencial, ya que escribiéndola de la forma

\displaystyle \frac{m\dot{v}}{kv^2 - gm} = 1,

podemos integrar para obtener

\displaystyle \log\Big( \frac{\sqrt{gm/k} - v}{\sqrt{gm/k}+v} \Big) = 2\sqrt{\frac{gk}{m}}\, t.

Entonces, resolvemos para v y obtenemos

\displaystyle v(t) = - \sqrt{\frac{gm}{k}} \cdot \frac{e^{2\sqrt{\frac{gk}{m}}\, t}-1}{e^{2\sqrt{\frac{gk}{m}}\, t}+1} = - \sqrt{\frac{gm}{k}} \Big( 1 - \frac{2}{e^{2\sqrt{\frac{gk}{m}}\, t}+1} \Big),

y entonces

\displaystyle v(t) \approx - \sqrt{\frac{gm}{k}} \big( 1 - 2 e^{-2\sqrt{gk/m} \, t} \big).

Un comentario en “Velocidad terminal

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s