Alexandre-Théophile Vandermonde

La semana pasada, en mi clase de álgebra, demostramos el teorema de Vandermonde-Gauss, que afirma que las raíces n-ésimas primitivas de 1, complejas, son expresables por radicales de orden menor que n. Por ejemplo, es posible expresar las raíces cúbicas como

-\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt 3}{2} i,

utilizando sólo raíces cuadradas. El primero en hacer esta observación, y obtener una expresión en raíces quintas para las raíces undécimas de 1, fue Alexandre-Théophile Vandermonde, cuyo nombre es más conocido por “su” determinante.

Vandermonde publicó su análisis de las raíces de 1 en 1771, en el artículo Mémoire sur la résolution des équations publicado por la Academia Francesa de Ciencias. Hasta entonces, Vandermonde se había dedicado a la música, siendo intérprete de violín. No fue sino hasta la edad de 35 años cuando hizo esta publicación, influenciado por su amigo el matemático Alexis Fontaine des Bertins.

La idea de Vandermonde consiste en aprovechar las simetrías satisfechas por las raíces de 1. Por ejemplo, para obtener las raíces cúbicas mencionadas antes, uno observa que, si \omega es raíz cúbica compleja de 1, entonces satisface la ecuación

1 + \omega + \omega^2 = 0,

resultado de factorizar 1 - \omega^3 = 0. Notamos que \omega^2 también es una raíz cúbica de 1, ya que (\omega^2)^3 = \omega^6 = (\omega^3)^2 = 1. Entonces \omega y \omega^2 satisfacen

\omega + \omega^2 = -1.

Ahora bien, si consideramos la diferencia de estas raíces, \omega - \omega^2, y elevamos al cuadrado, obtenemos

(\omega - \omega^2)^2 = \omega^2 - 2\omega^3 + \omega^4 = \omega^2 - 2 + \omega = -3,

donde hemos usado el hecho que \omega^3 = 1 y la primer ecuación. Entonces

\omega - \omega^2 = \pm \sqrt{-3} = \pm \sqrt{3} i,

y sumando estas dos ecuaciones obtenemos 2\omega = -1 \pm \sqrt{3}i.

Observamos que la ecuación para \omega, 1 + \omega + \omega^2=0, es una ecuación cuadrática, y por lo tanto es posible obtener \omega con tan sólo utilizar la fórmula de la solución de esta ecuación. De hecho, es posible obtener expresiones en radicales para las raíces n-ésimas de 1 para n = 4, 5, \ldots, 10, usando las fórmulas de la ecuaciones de segundo, tercer y cuatro grados. Sin embargo, estos métodos no funcionan para obtener expresiones para, por ejemplo, las raíces undécimas, que involucran resolver una ecuación de grado 5, para la cual no hay fórmula general (no se conocía la razón en la época de Vandermonde).

La ventaja del método de Vandermonde es que se puede generalizar a órdenes mayores. Vandermonde lo utilizó para obtener una expresión para las raíces undécimas de 1, y conjeturó que es posible utilizarlo en cualquier orden. El primero en demostrarlo fue Gauss, e incluyó su demostración en su célebre Disquisitiones Arithmeticae.

Vandermonde publicó sólo tres artículos más en matemáticas: Remarques sur des problèmes de situation (1771), Mémoire sur des irrationnelles de différens ordres avec une application au cercle (1772), and Mémoire sur l’élimination (1772). En el primero de éstos, Vandermonde estudia el problema del recorrido del caballo de ajedrez, uno de los primeros ejemplos donde se utilizan teorías topológicas. En el siguiente, estudia problemas combinatóricos.

En el último estudia determinantes, estableciendo las bases de la teoría. Vandermonde, por ejemplo, mostró que el intercambio de renglones o columnas cambia el signo de éste.  Sin embargo, su principal contribución en su estudio es el hecho de ver al determinante como una función de una matriz, y no sólo como herramienta para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Se puede leer más sobre Vadermonde en MacTutor: Alexandre-Théophile Vandermonde


Como comentario al calce, notamos que en ninguna de las publicaciones de Vandermonde aparece el así llamado “determinante de Vandermonde”. ¿Por qué se le llama así? Quién sabe. Es un ejemplo más del “teorema cero” de Fisher: Todo descubrimiento con nombre y apellidos fue descubierto por otra persona. Curiosamente, también este resultado tiene otros nombres:  “Principio de Arnold”, “Ley de Stigler“, y el mismo Stigler afirma que había sido descubierta por Robert Merton.

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