Puntos Lagrangianos y los telescopios Herschel y Planck

La galaxia "remolino", M51
La galaxia "remolino", M51

La semana pasada, el telescopio Herschel envió las primeras fotografías, varias imágenes de la galaxia M51, dándonos apenas una muestra de su capacidad.

Herschel “abrió los ojos” el 15 de junio, un mes después de haber sido puesto en órbita junto con el telescopio Planck.

Además de la importancia de estos telescopios tanto para la astronomía (Herschel observará en el rango infrarojo, lejos de la luz visible) y la cosmología (Planck observará la radiación de fondo cósmico), también es interesante la localización de estos telescopios: el segundo punto Lagrangiano (L2) en el sistema Sol-Tierra, de lo cual hablaremos aquí.

Consideramos un sistema gravitacional con dos cuerpos, con masas M y m, suponiendo que uno es mucho más masivo que el otro (M>>m). Tomando como punto de referencia el centro del cuerpo con masa M, la teoría Newtoniana predice que el segundo cuerpo orbitará al primero en una órbita elíptica (si la trayectoria es cerrada; en general, es una curva cónica).

Sin embargo, desde el punto de vista del sistema de los dos cuerpos, esto da origen a 5 puntos estables respecto a estos dos, llamados puntos Lagrangianos. Estos puntos no son puntos de equilibrio del sistema, sino que sus posiciones relativas respecto a las dos masas son fijas en el tiempo.

Lagrangian
Puntos Lagrangianos

Equivalentemente, son los puntos donde la fuerza centrípeta respecto a la órbita del cuerpo m alrededor del cuerpo M es igual a la atracción gravitacional de estos dos cuerpos ejercida en esos puntos.

Los telescopios Herschel y Planck han sido puestos en una órbita de Lissajous alrededor del segundo punto Lagrangiano, L2, del sistema Sol-Tierra. Este punto fue escogido para minimizar los efectos de la modulación tanto luminosa como térmica del Sol, la Tierra y la Luna.

Las órbitas de los telescopios Herschel y Planck, alrededor de L2. Tomada de BBC News.
Las órbitas de los telescopios Herschel y Planck, alrededor de L2. Tomada de BBC News.

Como se ve en la figura, este punto se encuentra a aproximadamente a 1.5 millones de kilómetros de la Tierra, en la dirección opuesta al Sol. No es muy difícil de calcular tal distancia, como lo hacemos a continuación. Para simplificar los cálculos, asumimos que la órbital es circular. Esto es una buena aproximación, por que, por ejemplo, la excentridad de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es de sólo 0.0167.

En el punto L2, la atracción gravitacional de los objetos con masa M y m (el sol y la Tierra, por ejemplo) se suman, ya que “jalan” a un objeto en la misma dirección. Si este objeto tiene masa \mu (suponemos que \mu<<m para que no perturbe al sistema original), entonces la atracción gravitacional que siente el objeto es

\displaystyle \frac{GM\mu}{(R+r)^2} + \frac{Gm\mu}{r^2},

donde R es la longitud del semi-eje Mm, y r la distancia del objeto m a L2. En este punto, la fuerza centrípeta está dada por \mu \omega^2(R+r), donde \omega es la velocidad angular del objeto con masa  m alrededor del de masa M (recordemos que hemos asumido que la órbita es circular). Ahora bien, \omega satisface la ecuación

\dfrac{GMm}{R^2} = m\omega^2 R,

precisamente porque el movimiento es producido por la atracción gravitacional, así que tenemos \omega^2 = \dfrac{GM}{R^3}, y entonces la distancia r de m a L2 satisface la ecuación

\displaystyle \frac{GM\mu}{(R+r)^2} + \frac{Gm\mu}{r^2} = \frac{GM\mu(R+r)}{R^3},

donde hemos igualado la fuerza de atracción y la centrípeta en el punto L2. Notamos que podemos dividir esta ecuación entre G\mu, por lo que no depende ni de la constante de gravitación G ni de la masa \mu. Más aún, dividiendo entre m y multiplicando por R^3, obtenemos la ecuación

\displaystyle \frac{K}{(1+h)^3} + \frac{1}{h^2(1+h)} = K,

donde K=M/m es la proporción entre las dos masas M y m, y h es la proporción entre la distancias r (la distancia entre L2 y m) y R (el radio de la órbita de m).

En el sistema Sol/Tierra, el Sol tiene una masa aproximadamente 332,900 veces mayor a la de la Tierra, por lo que K = 332,900. Si resolvemos la ecuación anterior numéricamente, obtenemos h\approx 0.010, es decir, 1\% de la distancia al Sol. Entonces L2 está a distancia 1.5 millones de kilómetros de la Tierra, ya que la Tierra está aproximadamente a 150 millones de kilómetros del Sol.

Con cálculos similares podemos obtener los puntos L1 y L3. L4 y L5 son ligeramente más complicados, porque hay que considerar el ángulo entre el eje de la órbita y el segmento de M al punto, pero aproximadamente forman triángulos equiláteros con M y m.

En la página Lagrange Point Finder se encuentra una calculadora para calcular los 5 puntos Lagrangianos de un sistema dado.

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