No, eso no es teoría del caos

Hoy, en Milenio, Jabaz publicó el siguiente cartón:

Jabaz-090705Me llamó la atención el “Poema folclórico británico” en la esquina inferior derecha, sobre todo su conclusión:

Por un clavo se perdió el reino.
Eso es Teoría del Caos.

Sin embargo, eso no es teoría del caos. De hecho, sólo implica que un pequeño cambio en las condiciones iniciales de un sistema puede ocasionar grandes cambios a largo plazo (asumiendo, desde luego, que con el clavo ese se hubiera mantenido el reino a salvo). Pero eso no es suficiente para que el sistema sea caótico.

Hasta la ecuación más simple satisface la propiedad anterior. Por ejemplo, si u(t) y v(t) son soluciones, con condiciones iniciales u(0)=u_0 y v(o)=v_0, de la ecuación

x'(t) = x(t),

entonces u y v están dadas por u(t) = u_0 e^t y v(t) = v_0 e^t, por lo que la diferencia entre ellas está dada por

|u(t) - v(t)| = |u_0 - v_0| e^t,

es decir, la diferencia crece exponencialmente con respecto al tiempo. Esto implica que las soluciones se alejan entre sí con velocidad cada vez más rápida (de hecho, incluso la razón de cambio de esta diferencia crece con la misma rapidez –bonita propiedad de la función exponencial).

Para que un sistema sea caótico se requieren más propiedades: mezcla topológica y densidad de órbitas periódicas. Un resumen de lo que esto significa se puede leer en la wikipedia, en la entrada de Teoría de caos. Para un análisis más detallado se puede consultar algún texto de sistemas dinámicos.

Lo que sí podemos analizar aquí es qué tan sensibles a las condiciones iniciales pueden ser las soluciones a una ecuación diferencial. Hemos visto en el ejemplo anterior que la diferencia crece exponencialmente con el tiempo. ¿Puede ser peor?

Supongamos que tenemos la ecuación diferencial

x' = f(x,t),

donde f(x,t) es una función continua. Si la continuidad de esta función en la variable x es de Lipschitz (uniformemente en t), entonces la respuesta a la pregunta anterior es no: la diferencia entre soluciones a la ecuación diferencial, con distintas condiciones iniciales, no puede crecer más rápido que exponencialmente en t.

Suponemos que f(x,t) es continua y de Lipschitz en x con constante L; es decir, f satisface

|f(x,t) - f(y,t)| \le L |x-y|

para cualquier x, y y t. Si las funciones u(t) y v(t) satisfacen la ecuación, con condiciones iniciales u(0)=u_0 y v(0)=v_0, entonces también satisfacen

\displaystyle u(t) = u_0 + \int_0^t f(u(s),s) ds \qquad \text{ y }\qquad v(t) = v_0 + \int_0^t f(v(s),s) ds.

Estas expresiones se obtienen fácilmente integrando la ecuación diferencial para u y v (este truco es el ingrediente escencial del método de Picard para mostrar la existencia de las soluciones). Entonces, la diferencia satisface

\displaystyle |u(t) - v(t)| \le |u_0 - v_0| + \int_0^t |f(u(s),s) - f(v(s),s)| ds

\displaystyle \le |u_0 - v_0| + L \int_0^t |u(s) - v(s)| ds,

donde hemos utilizado, además de la desigualdad del triángulo, la hipótesis de Lipschitz de f. Para simplificar la notación, escribimos \phi(t) = |u(t) - v(t)| y A = |u_0 - v_0|. Entonces tenemos la hipótesis

\displaystyle \phi(t) \le A + L\int_0^t \phi(s) ds.

Esta hipótesis implica la desigualdad de Grönwall:

\displaystyle \phi(t) \le A e^{Lt},

demostrada por primera vez en 1919 por el matemático sueco Thomas Hakon Grönwall, y que implica que la diferencia de las soluciones a la ecuación diferencial de arriba, nuestra \phi, no crece más rápido que una función exponencial.

La demostración de la desigualdad de Grönwall no es difícil. Para mostrarla es suficiente con observar que, si

\displaystyle \Phi(t) = A + L\int_0^t \phi(s) ds,

entonces \Phi'(t) = L\phi(t), por lo que la hipótesis anterior (\phi(t) \le \Phi(t)) implica

\dfrac{\Phi'(t)}{\Phi(t)} \le L,

y luego tenemos, integrando, que

\log\Phi(t) \le \log\Phi(0) + Lt.

Por lo tanto, \Phi(t) \le \Phi(0) e^{Lt}. Como \phi(t) \le \Phi(t) y \Phi(0) = A, obtenemos la desigualdad que buscamos, \phi(t) \le Ae^{Lt}.


Como comentario al calce, quiero agregar que Jabaz obtuvo tanto el “poema folclórico británico” como la conclusión “Esto es Teoría del Caos” de la página Teoría de Caos, de alguna persona (o personas) entusiasta por la geofísica. Esa página, sin embargo, no es muy buena: sólo es una colección de ejemplos de sistemas caóticos, fractales, y hasta relación aurea que no tienen mucha conexión entre sí, donde no se aclara que es “caos” o, siquiera, cuál es la relación entre los distintos ejemplos. En fin.

4 comentarios en “No, eso no es teoría del caos

  1. Hay mucha confusión entre la gente sobre lo que significa caos, palabra que resulta “sexy” y que además se pone de moda con películas y discusión “liviana” y poco fundamentada sobre calentamiento global y meteorología. Estaría muy interesante (y creo que útil, quien sabe) que explicaras con cierto detalle, pero de manera accesible a alguien con nivel de prepa (el nivel que deberían tener, no necesariamente el que tienen ;)), qué es caos.

  2. Pingback: Mientras más crece más crece « Series Divergentes

  3. Pingback: Sobre la función exponencial « Series Divergentes

  4. Pingback: Efecto mariposa extremo « Series Divergentes

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