Mientras más crece más crece

En la revista Proceso de la semana pasada leí en la columna Interés Público de Miguel Angel Granados Chapa, Pronarco: ayudaditas a los narcos, lo siguiente:

En último término, son muchos los detenidos y pocos los castigados. Y por ello, y por su propia organización, configurada para resistir avatares de diversa suerte, el narcotráfico prospera y, en una espiral perversa, mientras más crece más crece.

No voy a discutir sobre la validez de la analogía entre la “prosperidad del narco” y una “espiral perversa” (no había escuchado antes tal frase, aunque es bastante popular en internet, con usos muy variados), pero me llamó la atención la frase “mientras más crece más crece”, en clara referencia al crecimiento exponencial.

Apenas hace unos días comentaba sobre el crecimiento exponencial entre soluciones a ecuaciones diferenciales restringido por la desigualdad de Grönwall, por lo que me pareció curioso encontrar otra referencia en la prensa. Además, como también menciona a una espiral (perversa o no), hablaré entonces de la espiral logarítmica, definida, en coordenadas polares, por una ecuación de la forma r = a b^\theta, con a > 0, b > 1. Es decir, la distancia de cada punto de la curva al origen crece exponencialmente respecto al ángulo que forma con el eje x.

espiralEsta curva satisface varias propiedades: entre ellas, el hecho que el ángulo entre el vector radio y la tangente en cada punto de la espiral es el mismo. Es decir, el cociente

C = \dfrac{ \gamma(\theta) \cdot \gamma'(\theta)}{|\gamma(\theta)| \, |\gamma'(\theta)|}

es independiente de \theta, donde \gamma(\theta) es el vector de posición (cartesiano) de la espiral en el punto con coordenadas polares (\theta, r).

Para ver esto basta con calcular \gamma(\theta) y \gamma'(\theta), que están dados por

\gamma(\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta) = (ab^\theta\cos\theta,ab^\theta\sin\theta)

y

\gamma'(\theta) = \big(ab^\theta(\log b\cos\theta-\sin\theta),ab^\theta(\log b\sin\theta+\cos\theta)\big).

Entonces

\displaystyle C = \frac{\gamma(\theta)\cdot\gamma'(\theta)}{|\gamma(\theta)|\,|\gamma'(\theta)|} = \frac{a^2 b^{2\theta} \log b}{ab^\theta \, ab^\theta \sqrt{\log^2 b + 1}} = \frac{\log b}{\sqrt{\log^2 b + 1}},

que es independiente de \theta. El ángulo entre el radio y la tangente está dado entonces por \alpha = \arccos C.

Notamos que C\to 0 y \alpha\to\dfrac{\pi}{2} (es decir, las rectas son perpendiculares) si b\to 1. En el límite b=1, r = a es un círculo de radio a, lo cual es consistente con el hecho de que las tangentes a un círculo son perpendiculares a su radio. Por otro lado, si b\to\infty, C\to 1 y \alpha\to 0, por lo que las tangentes se “parecen cada vez más” al radio vector en cada punto.

Otra propiedad cotorra de esta espiral es que, si camináramos desde un punto hasta el origen (\theta\to -\infty) tendríamos que dar una infinidad de vueltas, pero el trayecto recorrido sería finito. Esto se puede verificar calculando la longitud de la espiral desde el punto (r_0,\theta_0) hasta (0,-\infty), o sea

\displaystyle \int_{-\infty}^{\theta_0} |\gamma'(\theta)| d\theta = \int_{-\infty}^{\theta_0} ab^\theta\sqrt{\log^2b+1} d\theta = r_0 \sqrt{\log^2b+1} \int_0^\infty e^{-\theta\log b} d\theta = \frac{r_0}{C},

donde hemos usado el hecho que la integral de la función exponencial negativa converge (además de algunos cambios de variable apropiados), y que r_0 = ab^{\theta_0}.

Notamos que en el límite b\to 1, como C\to 0, tenemos que esta distancia se hace infinita. La razón es que en este límite la espiral es un círculo, por lo que sólo estaremos dando vueltas alrededor de él si intentamos caminar al origen. Es en este límite donde la “espiral perversa” se convierte en “círculo vicioso”.


Basler_Muenster_BernoulliComo comentario al calce, el matemático suizo Jacob Bernoulli pidió que en su lápida dibujaran una espiral logarítmica. Sin embargo, como podemos ver a la derecha, el constructor de lápidas sólo atinó a dibujar una espiral de Arquímedes, en la cual la separación de los brazos de la espiral es constante en lugar de crecer exponencialmente.

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