Pederastia exponencial y la ecuación logística

El domingo pasado, Yuriria Iturriaga publicó el artículo Pederastia exponencial en La Jornada. Comenta

La pregunta es: ¿por qué esta explosión demográfica de la pederastia? La tentación es responder, y a riesgo de herir la susceptibilidad de las víctimas de esta práctica, porque la pederastia es exponencial: cada niño abusado es, potencialmente, un pederasta que atacará a otros niños.

Primero, el que ahora nos encontremos más frecuentemente con escándalos de pederastia ocasionados por los clérigos de la iglesia católica (casi fue uno diario la semana pasada), no implica que existan más casos que antes (de hecho, algunos de los casos ocurrieron hasta en los años 50), sino que ahora tal iglesia ha perdido el “respeto” de la opinión pública y el poder de mantener en secreto la práctica a través del miedo a las denuncias o la protección de las autoridades.

Segundo, aunque es posible que un niño abusado crecerá en un pederasta en potencia, difícilmente el número de niños atacados crecerá exponencialmente: si, por ejemplo, el número de niños abusados por un pederasta, que luego cometen abusos, es de 5 en promedio (siendo austeros), en unas cuantas generaciones (digamos, unas 15), el número de abusos sería mayor que el número de seres humanos en el planeta, en toda su historia. Así que no puede ser así.

Ya habíamos hablado de la función exponencial en este blog y de la dificultad del público para entenderla. El crecimiento demográfico exponencial solo es una aproximación local en el estudio de poblaciones, es decir, solo describe dicho crecimiento por un periodo corto de tiempo. De hecho, es apenas la aproximación lineal a la tasa de crecimiento de una población.

La siguiente aproximación más precisa es la cuadrática, a través de la ecuación logística. Mientras que en el crecimiento exponencial se asume que la tasa de crecimiento es constante, en la ecuación logística dicha tasa depende del tamaño de la población. En particular, es directamente proporcional al espacio disponible para nuevos individuos en una población.

Si la constante de proporcionalidad es \beta, entonces la tasa de crecimiento \dfrac{dN}{dt} de una población está dada entonces por

\dfrac{dN}{dt} = \beta \Big(1 - \dfrac{N}{K} \Big)N,

donde la constante K es llamada la capacidad de carga del ambiente. Notamos que la diferencia 1 -\dfrac{N}{K} es la proporción de espacio disponible en la cual la población, de tamaño N, puede crecer, asumiendo que el ambiente tiene capacidad de sostener K individuos.

Un observación inmediata de la ecuación logística nos lleva a los siguientes hechos: 1) si la población se pequeña comparada con la capacidad de carga, entonces la tasa de crecimiento es aproximadamente lineal (\approx \beta N), por lo que entonces la población crece exponencialmente; 2) si N < K, la tasa de crecimiento es positiva y la población crece hasta el valor N = K; y 3) si N > K, la tasa es negativa y la población decrece, de nuevo al valor N = K.

Por lo tanto, después de un tiempo, la población descrita por la ecuación logística se estabiliza en el tamaño K. A dicha población se le denomina endémica.

La ecuación logística es muy útil como modelo para describir situaciones no solo en demografía, sino también en epidemiología, ecología, economía y ciencias sociales. ¿Es la pederestia endémica? Tal vez, pero no lo podemos saber hasta tener más información detallada sobre la práctica y poner a prueba distintos modelos matemáticos.

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