Matemáticas cefalópodas, II (también equinas)

A principios del siglo XX, el caballo Hans se hizo famoso por su capacidad de realizar cálculos aritméticos. La exactitud con que calculaba (por medio de golpes en el suelo con una  de sus patas) sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, operaciones con quebrados, calcular la hora y hasta la fecha de ciertos días de la semana, le dio fama y el mote de Clever Hans.

Su entrenador fue Wilhelm von Osten, maestro de matemáticas y entrenador aficionado de caballos. Por toda Alemania, von Osten y Hans ofrecieron espectáculos que conmocionaban al público.

Sin embargo, después de un estudio exhaustivo a Hans realizado por una comisión a cargo del psicólogo Carl Stumpf, se descubrió que, aunque en realidad Hans no tenía la capacidad de hacer ningún cálculo, sí era capaz de “leer” las respuestas correctas en von Osten. De hecho, no solo en von Osten, sino en cualquier interrogador que supiera la respuesta a la pregunta y estuviera al alcance de la vista del caballo.

Hans lo lograba porque, cuando el número de golpes en el piso se acercaba a la respuesta, el interrogador, inconscientemente, cambiaba tanto su postura como su expresión facial, cambios mucho más marcados cuando llegaba a la respuesta correcta. El caballo interpretaba así que debía dejar de golpear, lo que luego le era celebrado por el público. Los resultados de estas investigaciones acuñaron en psicología el término efecto Clever Hanks, en el cual un animal (o una persona) es capaz de leer las respuestas correctas a una pregunta en su interrogador (algo muy utilizado por los supuestos psíquicos).

Como ya lo habíamos mencionado antes, es posible que el éxito del pulpo Paul (también alemán, por cierto) sea resultado del efecto Clever Hanks. Si recordamos, logró predecir los resultados correctos a todos los partidos de Alemania, incluyendo los que perdió (ganó 5 y perdió 2), además de la final. Es posible que Paul escogiera con mayor probabilidad la almeja con la bandera Alemana porque así se lo indicaba inconscientemente su cuidador.

Esto puede aumentar la probabilidad de los resultados correctos del pulpo. Si la probabilidad de escoger cualquier equipo en cada partido es la misma (1/2), ya habíamos visto que la probabilidad de atinar correctamente en 7 partidos es 1/2^7 = 1/128 \approx 0.0078. Ahora bien, si el efecto Clever Hanks aumenta la probabilidad de escoger Alemania en, digamos, p, entonces la probabilidad de atinarle a las 5 victorias y 2 derrotas alemanas es \Big(\dfrac{1}{2} + p\Big) ^5 \Big( \dfrac{1}{2} - p \Big)^2. La gráfica de la derecha describe la esta probabilidad para los valores de p entre 0 y 1/2. Podemos observar que, si p = 1/2, entonces la probabilidad es cero porque el pulpo siempre escogería Alemania. Sin embargo, existe una p crítica (de hecho p = 3/14 \approx 0.21) donde esta probabilidad es máxima, igual a \approx 0.015, que casi duplica a la probabilidad cuando p = 0. Así que las posibilidades de adivinación de Paul se pueden duplicar con el efecto Clever Hanks adecuado.

Más aún, debemos observar que Paul siempre escogió Alemania durante sus 6 partidos de la Eurocopa 2008, errando, desde luego, en los dos partidos que perdió Alemania (con eso se ve más clara su predisposición de seleccionar Alemania). Entonces, del total de los juegos de Alemania que el pulpo ha intentado atinar, lo ha hecho correctamente 11 de las 13 veces. ¿Cuál es la probabilidad de este resultado, o uno mejor?

La probabilidad que el pulpo le atine a dos de los cuatro partidos que perdió Alemania es

\displaystyle \binom{4}{2} \Big( \frac{1}{2}-p\Big)^2 \Big( \frac{1}{2}+p\Big)^2,

donde hemos utilizado la distribución binomial (que ya hemos usado antes, cuando discutimos el análisis de error en encuestas). Así, la probabilidad de que Paul le atine a dos de los partidos perdidos y a los 9 ganados es

\displaystyle \binom{4}{2} \Big( \frac{1}{2}-p\Big)^2 \Big( \frac{1}{2}+p\Big)^2 \times \Big( \frac{1}{2}+p\Big)^9 = 6 \Big( \frac{1}{2}-p\Big)^2 \Big( \frac{1}{2}+p\Big)^{11}.

Esta no es la única forma, sin embargo, de obtener 11 de 13 resultados correctos. También pudo tener 3 de los perdidos y 8 de los ganados, o los 4 perdidos y 7 de los ganados. La gráfica de la izquierda describe la probabilidad de atinarle al menos a 11 de los 13 partidos, y vemos que también existe un punto crítico (p \approx 0.29) donde la probabilidad es máxima, igual a \approx 0.033.

Es decir, con el efecto Clever Hanks adecuado, el pulpo podría tener hasta el 3.3% de probabilidad de atinarle al azar a 11 resultados correctos de los 13 partidos (1 en 30, más o menos), lo cual triplica la probabilidad sin tal efecto, que es del 1.1%. Una posibilidad de treinta es equivalente (un poco mayor) a tirar una moneda 5 veces, y obtener todas águilas. Ya no suena tan extraordinario (y sí mucho más probable a que el pulpo sea clarividente).

Otras posibles explicaciones sobre el pulpo han y seguirán siendo discutidas (como el hecho que prefiere los colores de las banderas alemana y española). Además, seguramente inspirará más investigaciones sobre la muy reconocida inteligencia de los cefalópodos. Lo que sí es que el pulpo Paul se convirtió en una de las cosas que siempre serán recordadas del mundial de Sudáfrica.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s