Chiste de medida geométrica

Ayer, los de xkcd publicaron un chiste sobre la paradoja de Banach y Tarski.

La paradoja de Banach y Tarski, publicada en 1924 (Sur le décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, Fundamenta Math. 6), establece la posibilidad de dividir una bola (o una calabaza, o cualquier conjunto con interior no vacío) en un número finito de subconjuntos disjuntos tales que, rotados y trasladados, formarían dos bolas del mismo tamaño que la original. Esta es una paradoja que choca contra nuestra intuición geométrica, sobre todo porque contradice el hecho que las rotaciones y traslaciones deben (o, al menos, deberían) preservar el volumen. ¿Por qué, entonces, es posible construir tal descomposición?

El problema es que los pedazos en que se descompone la bola original son conjuntos no medibles en la teoría de volumen de Lebesgue, es decir, conjuntos con una estructura geométrica tan complicada que, de hecho, no se les puede asignar un volumen. Así que no hay tal contradicción con la preservación de volumen. Lo paradójico, desde luego, es la existencia de tales conjuntos. Tal existencia, sin embargo, es garantizada por el axioma de elección.

El axioma de elección establece que, dada cualquier colección de conjuntos no vacíos, existe al menos una forma de elegir un elemento de cada uno. Parece trivial, pero tal elección no es construible a partir de las operaciones fundamentales de la teoría de conjuntos (unión, intersección, etc.), y su existencia debe establecerse como axioma. Lo más interesante del axioma de elección es que, aunque “suena” razonable, su uso implica tal cantidad de resultados contraintuitivos en matemáticas (como la existencia de conjuntos no medibles, por ejemplo), que su validez estuvo a prueba por décadas al inicio del siglo XX, hasta que finalmente fue aceptado como válido entre los matemáticos.

Desde luego, es imposible en la práctica dividir una calabaza para formar dos iguales (aunque haya algunos que aseguran multiplicar panes y pescados arbitrariamente). El problema es que la herramienta utilizada, el cuchillo (el cual escencialmente divide cosas por un plano), es demasiado “simple”, y solo puede dividir en subconjuntos medibles (un ejercicio sencillo en cualquier clase de teoría de la medida –tarea para mis estudiantes). Para lograr tal cosa necesitaríamos un “cuchillo compatible con el axioma de elección”, tan complicado que, desde luego, sería imposible fabricarlo. Ni modo, solo podemos enunciar su existencia axiomáticamente.

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