La paradoja de Zenón


*Publicada en Corolario, suplemento de la Facultad de Ciencias


Un día Aquiles, el héroe mítico, gran atleta y guerrero, aceptó participar en una carrera contra una tortuga. Como la tortuga era un poco más lenta que él, se decidió darle una distancia de ventaja, a fin de hacer la carrera más justa.

El oráculo, sin embargo, le advirtió a Aquiles:

Cuando inicie la carrera, la tortuga, al iniciar con ventaja, estará delante de ti. Cuando llegues al punto de partida de la tortuga, ésta ya habrá avanzado, y estará delante de ti. Cuando llegues al punto donde llegó la tortuga inicialmente, está ya se habrá movido, y estará delante de ti. Cada vez que llegues al punto donde estaba la tortuga, ésta habrá avanzado. La tortuga siempre estará delante de ti.

¿Tiene razón el oráculo? Este razonamiento contradice nuestra idea de movimiento, y el hecho que, como Aquiles es más rápido que la tortuga, finalmente debería alcanzarla. ¿Cuál es el problema del razonamiento anterior?

Si a la tortuga se le otorga una ventaja con distancia D, digamos, para cuando Aquiles recorra dicha distancia, la tortuga se habra movido una fracción de esa distancia (la tortuga corre más lentamente), digamos pD. Cuando Aquiles recorre la nueva distancia pD, la tortuga ahora recorre la fracción p de esa distancia, o sea p \times pD = p^2D. De esa forma, la distancia recorrida por Aquiles y la tortuga es

D + pD + p^2D + p^3D + p^4D + \ldots,

donde los puntos sucesivos denotan “y así sucesivamente”.

Es cierto que la expresión anterior tiene una infinidad de sumandos, pero también es cierto es que cada uno es más pequeño que la anterior. Por ejemplo, si Aquiles es dos veces más rápido que la tortuga, entonces la fracción recorrida por la tortuga cada vez es p = \dfrac{1}{2}, por lo que cada término es la mitad del anterior.

Recordemos nuestra columna anterior en Corolario: El análisis matemático es el área de las matemáticas que estudia las sumas infinitas. En el caso en que la fracción es \dfrac{1}{2}, podemos observar que, cada vez que sumamos \dfrac{1}{2}D, estamos a la mitad de camino de 2D:

D + \dfrac{1}{2}D = (2 - \dfrac{1}{2})D; \quad D + \dfrac{1}{2}D + \dfrac{1}{4}D = (2 - \dfrac{1}{4})D; etc.

De esa forma, vemos que aunque tenemos una infinidad de sumandos, nunca nos pasamos de la cantidad 2D y, más aún, cada vez estamos más cerca de este números. Entonces, aún cuando nuestro razonamiento involucra un número infinito de pasos (cada distancia recorrida por Aquiles y la tortuga), la distancia recorrida por Aquiles para alcanzar a la tortuga es finita: 2D. Es decir, Aquiles, de hecho, sí alcanza a la tortuga, después de haber recorrido una distancia 2D.

En el caso general, para cualquier fracción p (menor que 1, porque la tortuga es más lenta), la distancia recorrida por Aquiles antes de alcanzar a la tortuga es \dfrac{D}{1-p}, como se suele comprobar en un segundo curso de cálculo.

De esa forma podemos concluir que el oráculo estaba equivocado: Aquiles sí alcanza a la tortuga, aún cuando se ha analizado la distancia que necesita recorrer en una infinidad de pedacitos.

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