Las matemáticas (y la psicología) de los penales

Hoy en La Jornada apareció la nota Equipo que lanza primer tiro en tanda de penales tiene ventaja, asegura estudio, donde se afirma que un profesor de la Escuela de Economía de Londres ha observado que, efectivamente, en una tanda de penales, el equipo que inicia la tanda tiene ventaja.

“De promedio, las opciones son 60-40 para el equipo que comienza”, dice Ignacio Palacios Huerta, economista de la London School of Economics en una entrevista que publica hoy el diario alemán Frankfurter Allgemeine Zeitung.

Ignacio Palacios Huerta es profesor de la London School of Economics, y sus intereses de investigación están relacionados con la teoría de juegos, el área de las matemáticas que analiza los posibles resultados de distintas estrategias en un juego.

Palacios, junto con Jose Apesteguia, de Barcelona, prepararon el artículo Psychological Pressure in Competitive Environments: Evidence from a Randomized Natural Experiment (disponible en su página web, y por aparecer en American Economic Review), donde analizan 269 tandas de penales en distintas competencias internacionales entre los años de 1970 y 2008, que incluyen un total de 2820 tiros. En los datos netos, el equipo que tiró el primer penal ganó el 60.5% de las veces.

En condiciones iguales, la probabilidad de cada uno de los equipos de ganar es la misma, sin importar si se inicia la tanda o no.

Esto lo podemos verificar de la siguiente manera: supongamos que dos equipos A y B participan en una tanda de penales. Para simplificar las cosas, supondremos que cada tiro es decisivo (un tiro penal cada quien, ganando el primer equipo que anote cuando el otro falla), y que la probabilidad de anotar de cada uno de los jugadores de A y B es igual a \alpha y \beta, respectivamente. Esta simplificación es útil si consideramos los promedios de las probabilidades de todos los tiradores de cada equipo, y si el orden de sus tiros es aleatorio.

Suponemos que el equipo A tira primero, y sea P(A) la probabilidad de ganar la tanda. Si P(A|AA) y P(A|AF) son las probabilidades de que A gane la tanda dado que anota o falla su primer tiro, entonces tenemos que

P(A) = \alpha P(A|AA) + (1 - \alpha)P(A|AF),

ya que el equipo A anota o falla su primer tiro con probabilidades \alpha y (1-\alpha), respectivamente. Ahora bien, estas probabilidades dependen de si B anota o falla el segundo tiro. Como antes, tenemos

P(A|AA) = \beta P(A|AA y BA) + (1-\beta)P(A|AA y BF),

P(A|AF) = \beta P(A|AF y BA) + (1 - \beta) P(A|AF y BF),

donde P(A|AA y BA) y P(A|AA y BF) son las probabilidades de que A gane la tanda dado que A anotó el primer tiro y B anotó y falló el segundo, respectivamente, mientras que P(A|AF y BA) y P(A|AF y BF) son las probabilidades de que A gane dado que A falló el primer tiro, y B anotó y falló el segundo, respectivamente.

Observamos que P(A|AA y BA) = P(A|AF y BF) = P(A), porque la tanda vuelve a empezar cuando ambos equipos anotan o fallan su tiro. Ahora bien, P(A|AA y BF) = 1, porque A gana si anota y B falla, mientras que P(A|AF y BA) = 0, en el caso opuesto. Tenemos entonces la ecuación

P(A) = \alpha \big( \beta P(A) + (1-\beta)\big) + (1-\alpha)\big( (1-\beta)P(A) \big),

que arroja

P(A) = \dfrac{\alpha(1-\beta)}{\alpha(1-\beta) + \beta(1-\alpha)}.

Observamos que la probabilidad de que B gane, si A tira primero, es

P(B) = 1 - P(A) = \dfrac{\beta(1-\alpha)}{\alpha(1-\beta) + \beta(1-\alpha)},

es decir, igual a la de A si intercambiamos \alpha por \beta. Más aun, si \alpha = \beta (los equipos tienen el “mismo nivel”), entonces ambas son iguales a \dfrac{1}{2}. Concluimos que, probabilísticamente, iniciar la tanda de penales no da ninguna ventaja en el resultado final.

Sin embargo, Palacios y Apesteguia observan que la ventaja es psicológica, debida a la presión de la competencia. De hecho, los datos arrojan que, en promedio, la probabilidad de anotar cada uno de los cinco tiros penales de una tanda del primer equipo se encuentra entre 0.74 y 0.82, mientras que para el segundo entre 0.64 y 0.77, consistentemente menor en cada uno de los tiros.

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  1. Pingback: Ejemplo de un juego no simétrico | Series divergentes

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