Ejemplo de un juego no simétrico

Ayer comenté aquí un estudio sobre la ventaja psicológica de iniciar una tanda de penales, aún cuando no existe ventaja probabilística. Sin embargo, no es difícil encontrar un ejemplo de una partida no simétrica.

Consideremos un torneo de tres equipos, A, B y C, digamos, llevado a cabo de la siguiente manera: A y B jugarán primero, y el ganador jugará contra C. Si vuelve a ganar, será declarado ganador del torneo. De otra forma, C jugará con el equipo restante, y así continuarán hasta que unos de los tres equipos haya ganado dos juegos consecutivos. La pregunta es: ¿es el torneo justo? ¿Existe alguna ventaja para A o B, o para C?

Supongamos que los tres equipos tienen el mismo nivel de juego, por lo que la probabilidad de cada uno de ganar en cada partido es \dfrac{1}{2}. Así, calcularemos la probabilidad que tiene el equipo A de ganar el torneo. Observamos que esta probabilidad es la misma que la de B, porque ambos juegan en el primer partido. La restante será la probabilidad de C de ganar el torneo. Si fuese un torneo justo, los tres tendrían probabilidad \dfrac{1}{3}.

Sea P(A) la probabilidad de A de ganar el torneo. Entonces

P(A) = \dfrac{1}{2} P(A|A\to B) + \dfrac{1}{2} P(A|B\to A),

donde P(A|A\to B) y P(A|B\to A) son las probabilidades de A de ganar el torneo dado que gana o pierde el primer partido contra B, respectivamente. Similarmente,

P(A|A\to B) =

\dfrac{1}{2} P(A|A\to B\text{ y }A\to C) + \dfrac{1}{2} P(A|A\to B\text{ y }C\to A),

considerando los dos resultados contra C. Ahora bien, si A gana a C, entonces gana el torneo, por lo que P(A|A\to B\text{ y }A\to C) = 1. Observamos ahora que

P(A|A\to B\text{ y }C\to A) = P(A|B\to A),

porque en cualquiera de los dos casos A se encuentra en la misma posición en el torneo: debe esperar el juego entre B y C, y sus posibilidades dependen de que el equipo que recién le haya ganado triunfe o pierda en el siguiente partido. Llamemos a esta probabilidad P_1. Entonces tenemos

P_1 = \dfrac{1}{2} P_2,

donde P_2 es la probabilidad de A de ganar el torneo, dado que el equipo que recién le ganó a A no ganó el siguiente partido. Entonces, de la misma forma, tenemos

P_2 = \dfrac{1}{2} P_3,

donde, esta vez, P_3 es la probabilidad de A de ganar el torneo cuando tiene un partido de ventaja. Notamos que, si A pierde este partido, el equipo que le gane ganará el torneo. Rescribiendo las ecuaciones anteriores, y considerando que P(A|A\to B) = P_3, tenemos

P_3 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}P_1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\Big( \dfrac{1}{2}P_2 \Big) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\Big( \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} P_3 \Big) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8}P_3,

o P_3 = \dfrac{4}{7}, y entonces P_1 = \dfrac{1}{7}. Así tenemos

P(A) = \dfrac{1}{2}P_1 + \dfrac{1}{2}P_3 = \dfrac{5}{14}.

Observamos que la probabilidad de A, y de B, desde luego, de ganar el torneo es mayor que \dfrac{1}{3}, mientras que la probabilidad de C de ganar es \dfrac{4}{14} = \dfrac{2}{7} < \dfrac{1}{3}, por lo que A y B tienen ventaja sobre C.

Ahora bien, el torneo se vuelve justo para los tres equipos, si los dos jugadores iniciales se escogen al azar. Como la probabilidad de ser uno de los primeros dos es \dfrac{2}{3}, observamos entonces que la probabilidad de ganar el torneo, para cualquiera de los tres equipos, es

\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{5}{14} + \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{4}{14} = \dfrac{1}{3}.

 


Ejercicio para el lector: Calcular las probabilidades de ganar el torneo si los equipos tienen distintos niveles de juego, es decir, si la probabilidad de que A le gane a B, de que le gane a C, y la de que B le gane a C, son distintas a \dfrac{1}{2}. El análisis necesario es similar al anterior.

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