La importancia de llamarse Ernesto

La importancia de llamarse Ernesto es una comedia de teatro escrita por Oscar Wilde y estrenada en 1895. Aunque fue la única comedia de Wilde, es una de sus obras más famosas. El título original en inglés es The Importance of Being Earnest, un juego de palabras entre “Ernest” (Ernesto) y “earnest” (serio, severo). La obra es una sutil crítica a la “seriedad” de la sociedad inglesa del siglo XIX. Pueden leerla en Wikisource en español: La importancia de llamarse Ernesto; o en inglés: The Importance of Being Earnest. Está cotorra.

Sin embargo, no es la obra de Wilde el tema de este post, sino la discusión del siguiente problema:

Una familia tiene dos hijos, uno ellos es hombre y se llama Ernesto. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean hombres?

De buenas a primeras, parecería que la respuesta es simplemente 1/2, suponiendo que la probabilidad de que una persona sea hombre o mujer es la misma (en realidad no es así, pero vamos a suponerlo). Más aún, lo primero que se nos viene a la mente es la pregunta: ¿qué fregados tiene que ver el nombre de un hijo con el sexo del otro?

Pero la probabilidad no es 1/2: otra vez debemos tener cuidado al identificar eventos independientes con aquellos que no lo son (aquí ya hemos hablado sobre la confusión que genera la probabilidad condicional [1, 2]). Lo que debemos calcular es la siguiente probabilidad condicional: si una familia tiene dos hijos, ¿cuál es la probabilidad de que tiene dos hombres si al menos uno de ellos es hombre y se llama Ernesto?

Consideremos primero el siguiente problema, más simple:

Si una familia tiene dos hijos, ¿cuál es la probabilidad de que tiene dos hombres si al menos uno de ellos es hombre?

Para resolverlo, consideremos las posibilidades que tiene una familia con dos hijos: si H representa “hombre” y M “mujer”, entonces, las posibilidades son, si enumeramos primero el hijo mayor y luego el menor (aun siendo gemelos, uno tuvo que haber nacido primero que el otro):

HH, \quad HM, \quad MH, \quad MM.

Es decir, tenemos cuatro posibilidades, cada una de ellas con la misma probabilidad de ocurrir: 1/4. Ahora bien, de estas cuatro, solo tres satisfacen la condición “al menos uno de ellos es hombre”:

HH, \quad HM, \quad MH.

De nuevo, cada una de ellas tiene la misma probabilidad de ocurrir. Así que, el evento “ambos son hombres” dada la condición “al menos uno de ellos es hombre” es una de tres posibilidades, y por lo tanto tiene probabilidad 1/3.

Para poder extender este razonamiento al caso en que conocemos el nombre de uno de los hijos, hagamos el cálculo preciso utilizando la definición de probabilidad condicional y el teorema de Bayes: si A es el evento “ambos son hombres” y B el evento “al menos uno de ellos es hombre”, entonces

A = \{ HH \}, \qquad B = \{ HH, HM, MH \},

y la probabilidad de que ocurra A dado B es entonces

P(A|B) = \dfrac{P(A\text{ y }B)}{P(B)} = \dfrac{P(\{HH\})}{P(\{HH, HM, MH \})} = \dfrac{1/4}{3/4} = \dfrac{1}{3}.

Así, verificamos que el razonamiento heurístico de arriba, enumerando los posibles casos, es correcto y la probabilidad es, efectivamente, 1/3.

Este es entonces otro ejemplo de cómo la probabilidad condicional contradice nuestra intuición. Para no hacer de este un post demasiado largo, continúo mañana con el cálculo de la probabilidad bajo la condición en que, además, conocemos el nombre de uno de los hijos.


Como ejercicio para ustedes:

– Si una familia tiene 4 hijos y al menos uno de ellos es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que los cuatro son hombres?

– Si sabemos que el mayor es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que los cuatro son hombres?

4 comentarios en “La importancia de llamarse Ernesto

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