La importancia de llamarse Ernesto, II

Ayer iniciamos la discusión del siguiente problema:

Si una familia tiene dos hijos, ¿cuál es la probabilidad de que tiene dos hombres si al menos uno de ellos es hombre y se llama Ernesto?

Ya hemos observado que si solo tenemos la condición “al menos uno de ellos es hombre”, entonces la probabilidad de que que ambos hijos sean hombres es 1/3, y no 1/2 como parece de buenas a primeras. Consideramos ahora el caso en que tenemos información adicional sobre el hijo hombre, en este caso el nombre.

Como enumerar todas las posibilidades para el nombre de los hijos es imposible, consideremos primero la siguiente variante del problema:

Si una familia tiene dos hijos, ¿cuál es la probabilidad de que tiene dos hombres si al menos uno de ellos es hombre y nació en lunes?

Para resolverlo, enumeramos las posibilidades de cada hijo escribiendo la letra H si es hombre o la  M si es mujer, acompañada del número del día de la semana: 1 para domingo, 2 para el lunes, etc. Entonces, las posibilidades para cada hijo son H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, M1, M2,M3, M4, M5, M6, M7 (14 posibilidades), y las posibilidades para un par de hijos, enumerando primero el mayor, son H1 H1, H1 H2, …, H1 H7, H2 H1, …, M7 M7, 14\times 14 = 196 posibilidades en total, todas con la misma probabilidad de ocurrir. De todas ellas, las que satisfacen la condición “al menos uno de ellos es hombre y nació en lunes” son

H2 H1, H2 H2, H2 H3, H2 H4, H2 H5, H2 H6, H2 H7,
H2 M1, H2 M2, H2 M3, H2 M4, H2 M5, H2 M6, H2 M7,
H1 H2, H3 H2, H4 H2, H5 H2, H6 H2, H7 H2,
M1 H2, M2 H2, M3 H2, M4 H2, M5 H2, M6 H2, M7 H2,

en total, 27 posibilidades, todas con la misma probabilidad de ocurrir. Notamos que la tercera línea no incluye el par H2 H2, porque esa posibilidad ya está en la primera línea.

Ahora bien, de las posibilidades que satisfacen la condición “al menos uno de ellos es hombre y nació en lunes”, podemos contar 13 de ellas en las cuales ambos son hombres, 7 en la primera línea y 6 en la tercera. Entonces, la probabilidad de tener dos hombres si al menos uno de ellos es hombre y nació en lunes es 13/27. Notamos que esta probabilidad no es ni 1/3 ni 1/2, por lo que la información del día de nacimiento sí afecta la probabilidad condicional.

Analicemos ahora la solución de manera precisa, con ayuda del teorema de Bayes. Si A es el evento “ambos son hombres” y B es el evento “al menos uno de ellos es hombre y nació en lunes”, entonces queremos calcular P(A|B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}. Por el teorema de Bayes, tenemos entonces

P(A|B) = \dfrac{P(B|A) P(A)}{P(B|A)P(A) + P(B|C)P(C) + P(B|D)P(D)},

donde C es el evento “uno es hombre y otro es mujer” y D el evento “ambos son mujeres”, y ademas hemos usado el hecho que los eventos A, C y D son complementarios.

Ahora bien, P(A) = P(D) =\dfrac{1}{4} y P(C) = \dfrac{1}{2}. Más aún,P(B|A) = 1 - P(B^c|A), donde B^c es el evento “no hay un hombre que haya nacido en lunes”. Como P(B^c|A) es igual a la probabilidad de tener dos hombres que no nacieron en lunes, entonces

P(B|A) = 1 - P(B^c|A) = 1 - \Big(\dfrac{6}{7}\Big)^2 = 1 - \dfrac{36}{49} = \dfrac{13}{49}.

Ahora bien, P(B|C) es simplemente la probabilidad de que, si tenemos un hombre y una mujer, el hombre nació en lunes. Entonces

P(B|C) = \dfrac{1}{7}.

Finalmente, es claro que P(B|D) = 0, porque teniendo dos mujeres no puede haber un hombre que haya nacido en lunes. Así que tenemos

P(A|B) = \dfrac{13/49 \times 1/4}{13/49\times 1/4 + 1/7\times 1/2} = \dfrac{13}{27},

como habíamos obtenido antes.

Ahora sí estamos listos para calcular la probabilidad de que una familia con dos hijos tenga dos hombres dado que uno es hombre y se llama Ernesto. Sea p la probabilidad de que un hombre se llame Ernesto. Según el Instituto Nacional de Estadística español, en España un poco menos de 1 de cada 1000 hombres se llama Ernesto. En México no debe ser muy distinto, así que podemos aproximar p\approx \dfrac{1}{1000}. De cualquier forma haremos los cálculos con p arbitrario.

De nuevo, sea A el evento “ambos son hombres” y B el evento “al menos uno es hombre y se llama Ernesto”. Queremos entonces calcular P(A|B), y por el teorema de Bayes

P(A|B) = \dfrac{P(B|A) P(A)}{P(B|A)P(A) + P(B|C)P(C) + P(B|D)P(D)},

donde, otra vez, C es el evento “uno es hombre y otro es mujer” y D el evento “ambos son mujeres”, con las mismas probabilidades que antes.. Calculamos cada una de las probabilidades involucradas restantes.

Observamos que nuevamente P(B|A) = 1 - P(B^c|A), y P(B^c|A) es la probabilidad de que ninguno de  dos hombres se llame Ernesto. Así que

P(B|A) = 1 - P(B^c|A) = 1 - (1 - p)^2 = 2p - p^2.

Similarmente al caso anterior, P(B|C) = p y P(B|D) = 0. Por lo tanto

P(A|B) = \dfrac{(2p - p^2)\times 1/4}{(2p - p^2)\times 1/4 + p\times 1/2} = \dfrac{2 - p}{4 - p}.

Observamos que, si p \approx \dfrac{1}{1000} = .001, entonces

P(A|B) \approx \dfrac{1999}{3999} \approx 0.4999,

a apenas un diezmilésimo de distancia a 1/2. Como

\dfrac{2 - p}{4 - p} \to \dfrac{1}{2}

cuando p\to 0, podemos concluir que, entre más información tengamos de uno de los hermanos, más se acercará a 1/2 la probabilidad de que el otro tenga un sexo u otro, como si fuesen independientes. Si no tenemos ninguna información más que el sexo de uno de ellos, entonces p = 1 (la probabilidad de ser hombre dado que es hombre), y entonces P(A|B) = 1/3.


Ejercicio para ustedes:

– Si una familia tiene dos hijos y uno de ellos es hombre y es zurdo, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean hombres? (Hay que investigar la proporción de hombres zurdos.)

– En mi familia somos cuatro hijos y yo me llamo Ricardo. ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro seamos hombres? ¿Cuál es la probabilidad de que seamos tres hombres y una mujer? (Según la página del INE español, en españa hay 3.881 “Ricardo”s de cada 1000.)

2 comentarios en “La importancia de llamarse Ernesto, II

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