Raymond E. A. C. Paley

Raymond E. A. C. Paley (1907 - 1933)

El 7 de abril de 1933 una avalancha mató a un joven entusiasta de los deportes invernales que esquiaba en Deception Pass, Fossil Mountain (cerca de Banff, Alberta, Canadá). El Times reportó* que, aunque el esquiador se encontraba solo a una altitud de casi 2,900 metros, su muerte fue vista por sus acompañantes que lo esperaban a las faldas de la montaña.

Solo contaba con 26 años de edad y su nombre era Raymond Edward Alan Christopher Paley, matemático inglés que se encontraba de visita en los EEUU, como investigador visitante en MIT y Harvard. Más tarde, en el verano de ese mismo año, participaría en el simposio de Fejér, en Chicago.

A su corta edad, Paley ya era un analista famoso. Desde sus estudios de licenciatura destacó por su “brillante técnica”, como afirmaría Norbert Wiener en su obituario en el Bulletin of the AMS, habilidad “que combinaría con una poderosa creatividad de primer orden”.

Paley estudió en Cambridge, bajo la tutela de los analistas Hardy y Littlewood, con quienes colaboró exitosamente.  En particular destaca su colaboración con Littlewood en la ahora conocida como teoría de Littlewood-Paley, que se convertiría en una de las herramientas más útiles en el análisis de Fourier moderno. Colaboró, además, con Antoni Zygmund (desigualdad de Paley-Zygmund) y Norbert Wiener (teorema de Paley-Wiener), además de desarrollar importantes contribuciones a la teoría de matrices de Hadamard (construcción de Paley) y la teoría de grafos (grafos de Paley). Zygmund, en su famoso libro Trigonometric Series, incluyó varios teoremas de Paley en la teoría de interpolación de operadores.

Teorema de Paley-Wiener

El teorema de Paley-Wiener clasifica las funciones holomorfas que son transformadas de Fourier de funciones apropiadas en \mathbb R.

Si f(x) es una función integrable en \mathbb R, su transformada de Fourier \hat f(\xi) está dada por la integral

\displaystyle\hat f(\xi) = \int_{\mathbb R} f(x) e^{2\pi ix\xi} dx, \qquad \xi\in\mathbb R.

Si f(x) es cero fuera de un intervalo [-a,a]\subset\mathbb R (decimos que está soportada en este intervalo), entonces podemos extender \hat f(\xi) a una función F(z), para z\in\mathbb C, con la fórmula

\displaystyle F(z) = \int_{-a}^a f(x) e^{2\pi ixz} dx, \qquad z\in\mathbb C.

Por las propiedades de la integral, F(z) es diferenciable en z, y entonces holomorfa en \mathbb C. Además

\displaystyle |F(z)| \le e^{a|z|}\int_{-a}^a |f(x)| dx,

por lo que entonces F(z) es de tipo exponencial con coeficiente a (es decir, F(z)=O(e^{a|z|})). Además, si f\in L^2([-a,a]), o sea

\displaystyle\int_{-a}^a |f(x)|^2 dx < \infty,

entonces la restricción de F(z) a la recta real, F(\xi) = \hat f(\xi), se encuentra en L^2(\mathbb R), por el teorema de Plancherel. Así que, si F(z) es la extensión de la transformada de Fourier de una función en L^2 soportada en un intervalo, entonces es holomorfa en \mathbb C, de tipo exponencial y su restricción a la recta está en L^2. El teorema de Paley-Wiener establece la veracidad de la inversa.

Teorema (Paley-Wiener). Sea a>0. Tenemos que

\displaystyle F(\xi) = \int_{-a}^a f(x) e^{2\pi ix\xi} dx

para alguna función f\in L^2([-a,a]) si y solo si F\in L^2(\mathbb R) y se puede extender a una función holomorfa en el plano complejo de tipo exponencial con coeficiente a.

La demostración de la inversa requiere de resultados más profundos del análisis complejo, y se puede consultar en el volumen 2 del libro de Zygmund, Trigonometric Series. Stein y Shakarchi, en el texto Complex Analysis, incluyen una demostración en el caso particular en que |F(\xi)| \le \dfrac{A}{1 +\xi^2}, para alguna constante A>0.


*La entrada en MacTutor History of Mathematics contiene un scan del obituario en The Times: Raymond Edward Alan Christopher Paley.

4 comentarios en “Raymond E. A. C. Paley

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  2. Pingback: John E. Littlewood | Series divergentes

  3. Enrique

    No sabía que Paley murió tan joven. Paley tambien tiene un teorema importante en el área de las matemáticas que yo trabajo. Paley demostró que para todo epsilon, existen infinitos caracteres de Dirichlet que cumplen que \sum_{n\le N} \chi(n) >>_{\varepsilon} \sqrt{q}\log{\log{q}}.

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