De los narcolaboratorios más grandes a la función logarítmica, II

En la entrada anterior, calculamos el número esperado de veces en que un récord se rompe, en eventos aleatorios e independientes. En n intentos, si tal valor esperado lo denotamos por E(n), entonces

E(n) = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n}.

Observamos que la función E(n) crece cada vez más lentamente, porque cada vez sumamos 1/n, un número cada vez más pequeño. Nos preguntamos si la función entonces está acotada; es decir, si existe algún número M tal que

E(n) \le M

para cada M.

Observemos los sumandos de E(10),

1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{10}.

Cada uno de los sumandos 1/2, 1/3, \ldots, 1/9 es mayor que 1/10, por lo que entonces

E(10) > 1 + \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10}

= 1 + \dfrac{9}{10} = \dfrac{19}{10}.

Si hacemos el mismo ejercicio, pero con E(100), observamos que, a partir de 1/11 y hasta 1/99, cada sumando es mayor que 1/100, por lo que entonces

E(100) = 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{11} + \cdots + \dfrac{1}{99} + \dfrac{1}{100} > 1 + \dfrac{9}{10} + \dfrac{90}{100}

= 1 + 2\times\dfrac{9}{10}.

Podemos repetir el mismo argumento con cualquier potencia de 10. Por ejemplo, si n = 1000, observamos que

E(1000) > 1 + 3\times\dfrac{9}{10}

y, en general,

E(10^k) > 1 + k\dfrac{9}{10}.

Es decir, si n es una potencia de 10, la función E(n) es al menos más grande que 9/10 su exponente.

Concluimos que no podemos acotar E(n): para cualquier número M, es suficiente con tomar k > \dfrac{10(M-1)}{9} para garantizar que E(10^k) > M. Por ejemplo, si M=100, es suficiente con tomar

k > \dfrac{10(100 - 1)}{9} = 110.

Así, E(10^{110}) > 100. Observamos que 10^{110} es un número 1 ¡seguido por 110 ceros! Eso es resultado del lento crecimiento de la función E(n).

De hecho, podemos verificar que E(10^k) no crece más rápido que comparado al exponente k. Con la misma idea que antes, observamos que las fracciones en los sumandos de E(10) son todas menores a 1, por lo que

E(10) = 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{10} < 1 + 1 + \cdots + 1 = 1 + 9.

De la misma forma, en la suma de E(100), los sumandos 1/11, \ldots 1/100 son menores a 1/10, por lo que

E(100) = 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{11} + \cdots + \dfrac{1}{99} + \dfrac{1}{100} < 1 + 9 + \dfrac{90}{10}

= 1 + 2\times 9.

En general, para cualquier potencia 10^k, E(10^k) < 1 + 9k. Así, la función E(n) no crece más rápido que el inverso de las potencias de 10, es decir, logarítmicamente. En particular, hemos mostrado que

1 + 9k < E(10^k) < 1 + \dfrac{9}{10}k,

por lo que entonces decimos que E(n) crece de la misma forma que la función logaritmo (base 10), ya que \log_{10}(10^k) = k. La expresión anterior también la escribimos como

E(n) \sim \log_{10} (n).

No es la primera vez que la función logaritmo se nos aparece en este blog: también es utilizada para medir la magnitud de un terremoto donde, como habíamos visto, cada dos puntos en la escala de medición corresponden a un terremoto con 1,000 veces más energía. Las escalas logarítmicas, como en ese ejemplo, son utilizadas para medir eventos que crecen exponencialmente.

En nuestro caso, si queremos que E(n) sea un punto más grande, entonces n debe crecer al menos 10 veces más.

2 comentarios en “De los narcolaboratorios más grandes a la función logarítmica, II

  1. Jorge Torrres

    Qué ha pasado con su programa de radio que transmitían los miércoles a las 10:30?
    Era muy interesante.
    No han pensado en hacer algún podcast?
    Saludos.

    1. Hola Jorge:

      El programa terminó porque Universo modificó toda su programación. Tal vez en algún futuro volvamos a producirlo.

      De hecho sí hemos pensado en un podcast, pero aún no hemos discutido los detalles.

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