John E. Littlewood

John E. Littlewood había salido a caminar bajo la lluvia. Se estaban realizando labores de limpieza en su oficina y no le quedó más que salir por un par de horas. Llevaba todo el día trabajando en un problema sugerido por Godfrey H. Hardy sobre la extensión de un teorema de Tauber de series convergentes en el sentido de Abel. Ya tenía algunas ideas que parecían útiles, pero muy revueltas y confusas. Caminó durante un rato, esperando que el paseo forzoso le despejara un poco la cabeza. De repente, en medio de la lluvia, se detuvo. Fijó su mirada en un pequeño puente, y se dio cuenta que ya tenía la solución. Tuvieron que pasar unos cuarenta tensos minutos antes de que pudiera regresar y verificar la solución en su despacho. Littlewood recordaría la anécdota como «el final de su educación matemática y el principio de su colaboración, de 35 años, con Hardy.»

John Edensor Littlewood nació en 1885, hijo del también matemático Edward T. Littlewood. Ingresó a estudiar en Cambridge en 1903 (al igual que su padre, un par de décadas antes), donde estudió bajo la dirección de Ernest Barnes. De 1907 a 1910 fue instructor en Manchester, y regresó como profesor a Cambridge en 1910. Fue en ese tiempo cuando inició su exitosa colaboración con Hardy, cuyo trabajo conjunto abarca la teoría de series, la función zeta de Riemann (además de diversos resultados y métodos poderosos en la teoría analítica de números), desigualdades y la teoría de funciones (análisis complejo). También lo recordamos por la ahora conocida teoría de Littlewood-Paley que ya habíamos mencionado en este blog.

Littlewood también tuvo interés en las matemáticas aplicadas. Durante la primera guerra mundial sirvió en la guarnición de artillería, donde realizó estudios de balística cuyos resultados fueron exitosamente aplicados en combate. Sus técnicas redujeron de manera importante el trabajo necesario para el cálculo de trayectorias de proyectiles. Más adelante trabajó en el estudio de ecuaciones diferenciales no lineales, y su colaboración en esta área con Mary Cartwright sentó buena parte de las bases de la teoría de sistemas dinámicos moderna.

El teorema tauberiano de Littlewood

Hablaré aquí sobre el teorema tauberiano de Littlewood, mencionado en la anécdota del inicio de estas notas. Empezamos por decir que una serie $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$ converge si la sucesión de sumas parciales $\displaystyle s_n = \sum_{k=0}^n a_k$ converge. Si $s_n\to s$ , decimos que $\sum a_n$ converge a $s$ y escribimos

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n = s.$

Niels H. Abel demostró en 1826 que, si la serie $\sum a_n$ converge a $s$ y definimos la función, para $0 \le x <1$ ,

$f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n,$

entonces el límite de $f(x)$ cuando $x\to 1$ es igual a $s$ . La demostración no es difícil y puede verse en un curso introductorio de análisis (suelo dejarlo como proyecto final en mi curso).

La inversa es falsa: por ejemplo, si consideramos la serie $1 - 1 + 1 - 1 + \ldots$ , entonces la función $f(x)$ está dada por

$f(x) = 1 - x + x^2 - x^3 + \ldots = \dfrac{1}{1 + x},$

y $f(x) \to \dfrac{1}{2}$ cuando $x\to 1$ . La serie, sin embargo, es divergente; es uno de esos inventos del demonio que tanto aborrecía Abel. Otro ejemplo es la serie $1 - 2 + 3 - 4 + \ldots$ , donde tenemos

$f(x) = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \ldots = \dfrac{1}{(1 + x)^2} \to \dfrac{1}{4}$

cuando $x\to 1$ . Si una serie $\sum a_n$ es tal que $f(x) = \sum a_n x^n$ tiene límite cuando $x\to 1$ , decimos que es Abel sumable, o convergente en el sentido de Abel. El teorema de Abel dice entonces que, si una serie converge a $s$ , entonces es Abel sumable a $s$ .

La pregunta natural es ¿bajo qué condiciones podemos garantizar que una serie Abel sumable es convergente? En 1897, Alfred Tauber demostró que, si los términos $a_n$ de una serie Abel sumable decrecen más rápido que $1/n$ (es decir, $\dfrac{a_n}{1/n} = na_n \to 0)$ , entonces la serie es convergente. De nuevo, la demostración, aunque ligeramente más difícil que la del teorema de Abel, es elemental y se puede estudiar en un curso introductorio de análisis (puede verse en el libro de Zygmund, Trigonometric Series).

Como comenta el mismo Littlewood, Hardy le sugirió extender este teorema al caso en que los términos decrecen como $1/n$ (es decir, existe una constante $A>0$ tal que $|a_n| < A/n$ ). Littlewood resolvió el problema en 1910, y la demostración fue publicada en The Converse of Abel’s Theorem on Power Series, en la revista Proceedings of the London Mathematical Society. Las ideas de Littlewood para la demostración fueron muy novedosas; hace un par de días vimos, en una entrevista a Freeman Dyson, que resultaron ser útiles en la solución de un problema de física. Una demostración más moderna del teorema de Littlewood (con métodos elementales, también) puede ser encontrada en el libro de Zygmund, Trigonometric Series, justo después de la demostración del teorema de Tauber.

Hardy y Littlewood acuñaron el término teoremas tauberianos para describir cualquier teorema que establezca condiciones suficientes para que un método de sumabilidad de una serie garantice su convergencia.