22 de julio, un mejor día de pi

No soy muy adepto a andar celebrando fechas arbitrarias en el calendario, como la del “día de pi” que emociona a varios blogueros por todos lados el 14 de marzo. Sin embargo, ya que quieren celebrar tal día, tendría que ser hoy, el 22 de julio.

La razón es simple: hoy, que escribiríamos 22/7, representa un número racional más cercano al valor de \pi que 3.14. Podemos verificarlo explícitamente: a 6 cifras significativas, \pi \approx 3.14159, por lo que

|\pi - 3.14| \approx .00159 = 1.59\times 10^{-3};

ahora bien, como \dfrac{22}{7} \approx 3.14286,

\Big| \pi - \dfrac{22}{7}|\approx .00127 = 1.27\times 10^{-3}.

Así que \dfrac{22}{7} es una fracción más cercana a \pi que 3.14 = \dfrac{157}{50}; de hecho, uno puede verificar explícitamente que, entre todos los números racionales con denominador menor o igual a 50, \dfrac{22}{7} es el más cercano a \pi (encontramos uno más cercano que esta fracción en \dfrac{179}{57}).

Esta no es una simple casualidad numérica: \dfrac{22}{7} es la primera aproximación a \pi por fracciones continuas. Una fracción continua es una fracción de la forma

a_0 + \dfrac{1}{a_1 + \dfrac{1}{a_2 + \dfrac{1}{\ddots + \dfrac{1}{a_n}}}},

donde a_0 es entero y los a_1, \ldots, a_n son enteros positivos.

Para encontrar la primera aproximación a_0 + \dfrac{1}{a_1} a \pi, observamos que a_0 = 3 y a_1 es la parte entera de \dfrac{1}{\pi - 3} \approx 7.06251. Así que tenemos

3 + \dfrac{1}{7} = \dfrac{22}{7}.

Para la siguiente aproximación, tomamos el recíproco de la parte fraccionaria de \dfrac{1}{\pi - 3}, \dfrac{1}{.06251}\approx 15.9974, así que a_2 = 15 y tenemos

3 + \dfrac{1}{7 + \dfrac{1}{15}} = \dfrac{333}{106}.

Este número es aproximadamente 3.1415094, bastante cercano a \pi (la diferencia es menor a un diez milésimo).

Les vuelvo a dejar el video de Sixty Simbols sobre \pi donde, precisamente, mencionan la aproximación 22/7.

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