El teorema de la semana: el del binomio

Desde nuestras primeras clases de álgebra, al inicio de la secundaria, aprendemos (o deberíamos aprender) la identidad

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,

para cualquiera números a y b. La identidad también era conocida en la infancia matemática de la humanidad, y de hecho se encuentra en los Elementos, de Euclides. Poco después aprendemos fórmulas para el cubo y la cuarta potencia de un binomio,

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3,

(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4.

Estas fórmulas se obtienen fácilmente multiplicando el binomio a+b el número de veces requerida. De hecho, no es difícil obtener una regla de iteración para obtener cualquier potencia entera positiva del binomio: si (a+b)^n = a^n + Aa^{n-1}b + Ba^{n-2}b^2 + Ca^{n-3}b^3 + ..., entonces

(a+b)^{n+1} = (a+b)^n\times(a+b) =

= a^{n+1} + Aa^nb + Ba^{n-1}b^2 + Ca^{n-2}b^3 +\ldots

+ a^nb + Aa^{n-1}b^2 + Ba^{n-2}b^3 + Ca^{n-3}b^4 +\ldots

= a^{n+1} + (A+1)a^nb + (A + B)a^{n-1}b^2+(B+C)a^{n-2}b^3+\ldots,

por lo que cada coeficiente es la suma del correspondiente, y el inmediato anterior, de la expansión del binomio a una potencia menos. Así, los coeficientes de estas expansiones forman la tabla

\begin{array}{ccccccccc}1&2&1\\1&3&3&1\\1&4&6&4&1\\1&5&10&10&5&1\\1&6&15&20&15&6&1\\1&7&21&35&35&21&7&1\\1&8&28&56&70&56&28&8&1\\\vdots\end{array}

Esta tabla aparece, hasta el octavo renglón, en los escritos del matemático chino Zhu Shijie, alrededor de 1300, y él mismo comenta que es parte del “conocimiento antiguo”.

Más adelante, alrededor de 1650, Blaise Pascal observó que, en la expansión de (a+b)^n, el coeficiente de a^{n-k}b^k es el número de formas en que podemos escoger n-k términos a y k términos b. Así que, si escribimos este coeficiente como \displaystyle\binom{n}{k}, podemos calcular

\displaystyle\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdots k},

simplemente contando el número de formas en que podemos escoger k objetos distintos de un conjunto de n en total. La tabla de arriba es conocida ahora como triángulo de Pascal.

El primero en considerar la expansión de (a+b)^\alpha, cuando la potencia \alpha no es un entero, fue James Gregory, en 1670. Unos seis años más tarde, Isaac Newton consideraría el problema cuando estudió el área bajo curvas de la forma (1 - x^2)^\alpha, en especial el caso \alpha = 1/2, el círculo unitario. El caso general es lo que ahora conocemos como el teorema del binomio.

Teorema. Sea \alpha\in\mathbb R y |x|<1. Entonces

(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{2\cdot 3}x^3 + \ldots,

donde el término general es de la forma

\dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-k+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdots k}x^k.

Ni Gregory, ni Newton, dieron una demostración de este teorema. Ni siquiera el asunto de la convergencia de la serie de la derecha estaba claro. De hecho, la primera demostración formal y precisa del teorema del binomio fue dada por Niels Henrik Abel (el mismo de las series divergentes del demonio) casi 200 años después.

Podemos obtener los términos de la serie haciendo uso solo del teorema fundamental del cálculo: Si f:[a,b]\to\mathbb R es diferenciable y f' es integrable, entonces \int_a^b f' = f(b) - f(a). De hecho, si aplicamos este teorema al producto de funciones fg, obtenemos

\displaystyle f(b)g(b) - f(a)g(a) = \int_a^b \big( f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \big)dx,

de donde obtenemos la conocida fórmula de integración por partes

\displaystyle \int_a^b f(x)g'(x) dx = f(b)g(b) - f(a)g(a) - \int_a^b f'(x)g(x) dx.

También necesitaremos el hecho que, para cualquier número real \alpha, la derivada de la función x\mapsto (1 + x)^\alpha es igual a \alpha(1 + x)^{\alpha-1} para x >-1.

Por el teorema fundamental del cálculo,

\displaystyle (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha \int_0^x (1 + t)^{\alpha-1} dt.

Ahora bien, si aplicamos la fórmula de integración por partes a las funciones f(t) = (1 + t)^{\alpha-1} y g(t) = x - t, tenemos que

\displaystyle \int_0^x (1 + t)^{\alpha-1} (-1) dt = x - \int_0^x (\alpha-1)(1+x)^{\alpha-2}(x-t) dt,

así que

\displaystyle (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \alpha(\alpha-1)\int_0^x(1+x)^{\alpha-2}(x-t) dt.

Repitiendo la integración por partes, obtenemos

\displaystyle (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2

\displaystyle + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{2}\int_0^x(1+x)^{\alpha-3}(x-t)^2 dt.

Está claro que, de continuar con las integraciones por partes, obtenemos la expansión, digamos, después de n integraciones,

\displaystyle (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \ldots

\displaystyle \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha - n + 1)}{2\cdot3\cdots n}x^n + E_n(x),

donde el error E_n(x) está dado por

\displaystyle \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha - n)}{2\cdot3\cdots n}\int_0^x(1+x)^{\alpha-n-1}(x-t)^n dt.

La demostración estará terminada cuando mostremos que E_n(x)\to 0 cuando n\to\infty, si |x|<1. Sin embargo, la demostración más elegante de la convergencia de la serie a la función (1 + x)^\alpha hace uso del teorema de Cauchy, otro de mis teoremas favoritos, y que aparecerá en esta serie más adelante.

La historia del teorema del binomio, tanto en la versión del potencias enteras como racionales, está resumida en el artículo The story of the binomial theorem, de JL Coolidge, que apareció en el American Mathematical Monthly en 1949. Pueden leer el artículo completo aquí: PDF.


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Con este artículo participo en la versión 2.9 del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Que no te aburran las M@TES.

2 comentarios en “El teorema de la semana: el del binomio

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