Números amigos

Los creadores de la Tabla Periódica de los Videos y Sixty Symbols también tienen la colección de videos matemáticos Numberphile, donde publican un video a la semana sobre alguna propiedad cotorra de un número, o de una sucesión de ellos. Esta semana presentan la sucesión de pares de números amigos.

Decimos que A y B son un par de números amigos si la suma de sus divisores propios (o sea, desiguales a sí mismos) son iguales al otro número, es decir, los divisores propios de A suman B, y los de B suman A.

El ejemplo más pequeño de un par de números amigos es 220 y 284: los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, y suman 284; mientras que los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.

Los pares de números amigos son conocidos desde la antigüedad. En la segunda mitad del siglo IX, el matemático del medio oriente Thabit ibn Qurra demostró que, si los números p = 3\cdot 2^{n-1} - 1, q = 3\cdot 2^n - 1 y r = 9\cdot 2^{2n-1} - 1 son primos impares, entonces el par de números

2^npq \qquad\text{ y }\qquad 2^nr

es de amigos. Esta fórmula nos da al menos tres pares de números amigos, con los casos n=2, n=4 y n=7. Sin embargo, no se conocen más de esta forma.

Más adelante, Leonhard Euler extendió la construcción de Thabit demostrando que si los tres números p = (2^{n-m}+1)\cdot 2^m - 1, q = (2^{n-m}+1)\cdot 2^n - 1 y r = (2^{n-m}+1)^2\cdot 2^{m+n} - 1 son primos, entonces los números 2^npq y 2^nr son también amigos.

Los números de Thabit corresponden, desde luego, al caso m = n-1. La extensión de Euler arroja otros dos pares de números amigos, con m=1, n=8 y m=29, n=40. Sin embargo, no se conocen más números amigos de esta forma.

Como se menciona en el video anterior, no fue sino hasta 1866 cuando fue descubierto el segundo par más pequeño de números amigos, 1184 y 1210, por un adolescente italiano de nombre Nicolò I. Paganini (no confundir con el músico, que vivió casi un siglo antes). Hasta hoy, se conocen unos cuantos miles de pares de números amigos. Pueden ver los primeros pares en la enciclopedia de sucesiones enteras. En el más grande conocido los números tienen 24073 dígitos, descubiertos en el año 2005 por Paul Jobliing.

Podemos aquí demostrar que el par de números de Thabit son amigos. Si p, q y r son primos, entonces las sumas de los divisores propios de A = 2^npq y B = 2^nr, denotadas por S(A) y S(B) respectivamente, son iguales a

S(A) = (2^{n+1}-1)(p+1)(q+1) - 2^npq

y

S(B) = (2^{n+1}-1)(r+1) - 2^nr.

Ahora bien, si p = 3\cdot 2^{n-1} - 1 y q = 3\cdot 2^n - 1, entonces

S(A) = (2^{n+1}-1)(3\cdot 2^{n-1})(3\cdot 2^n) - 2^n(3\cdot 2^{n-1} - 1)(3\cdot 2^n - 1)

= 9\cdot 2^{3n} - 9\cdot 2^{2n-1} - 2^n(9\cdot 2^{2n-1} - 3\cdot 2^{n-1} - 3\cdot 2^n + 1).

Ahora bien, 3\cdot 2^n = 6\cdot 2^{n-1}, por lo que podemos simplificar

S(A) = 9\cdot 2^{3n} - 9\cdot 2^{2n-1} - 2^n(9\cdot 2^{2n-1} - 9\cdot 2^{n-1} + 1)

= 9\cdot 2^{3n} - 9\cdot 2^{2n-1} - 9\cdot 2^{3n-1} + 9\cdot 2^{2n-1} - 2^n

= 9\cdot 2^{3n-1} - 2^n = 2^n(9\cdot 2^{2n-1} - 1) = 2^n r,

donde hemos usado el hecho que 9\cdot 2^{3n} = 2\times 9\cdot 2^{3n-1} y r = 9\cdot 2^{2n-1} - 1.

Similarmente, calculamos

S(B) = (2^{n+1}-1)(9\cdot 2^{2n-1}) - 2^n(9\cdot 2^{2n-1}-1)

= 9\cdot 2^{3n} - 9\cdot 2^{2n-1} - 9\cdot 2^{3n-1} + 2^n = 9\cdot 2^{3n-1} - 9\cdot 2^{2n-1} + 2^n

= 2^n(9\cdot 2^{2n-1} - 9 \cdot 2^{n-1} + 1) = 2^n(3\cdot 2^{n-1} - 1)(3\cdot 2^n - 1) = 2^npq.


Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas (versión 2.9), alojado en el blog Que no te aburran las M@TES.

8 comentarios en “Números amigos

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