Teorema de la semana: el de punto fijo de Banach

Dada una función f:X\to X de un conjunto en sí mismo, un punto fijo de la función es un elemento a\in X tal que f(a) = a; es decir, a es fijado por la acción de f en X. ¿Cuándo podemos garantizar que una función tiene algún punto fijo?

Por ejemplo, es claro observar que una traslación en \mathbb R, de la forma f(x) = x + b, no tiene ningún punto fijo: no existe ningún x que satisfaga

x + b = x.

Sin embargo, si la traslación está precedida de una dilatación, es decir, f(x) = ax + b, con a\not=1, entonces el número x = \dfrac{b}{1-a} satisface f(x) = x.

Observamos que, si |a|<1, entonces la función anterior acorta distancias: |f(x) - f(y)| = |a| |x-y| < |x-y|. En general, dicha función es llamada una contracción. Es decir, si hemos definido una distancia (o métrica) d(\cdot, \cdot) en el conjunto X, la función f:X\to X es una contracción si

d(f(x), f(y)) \le a d(x,y),

donde 0 \le a < 1. En otras palabras, las distancias entre los valores de la función son una fracción a de las distancias de sus argumentos.

El conjunto X, junto con su distancia d, es llamado un espacio métrico. Este espacio métrico es completo si no tiene agujeros: de manera precisa, si (x_n) es una sucesión en X cuyos términos se acercan entre sí, o sea, d(x_n, x_m) \to 0 conforme crecen n y m, entonces la sucesión converge. Los números reales \mathbb R, y en general el espacio euclidiano \mathbb R^n, son espacios métricos completos.

Teorema (punto fijo de Banach). Si X es un espacio métrico completo y f:X\to X es una contracción, entonces f tiene un punto fijo.

Este teorema fue enunciado y demostrado por Stephan Banach en 1922. Su demostración no es difícil: solo requiere de observar que las distancias entre los términos de una sucesión de iteraciones de f, iniciando por cualquier punto x_0\in X, decrece exponencialmente. Es decir, si x_1 = f(x_0), x_2 = f(x_1), x_3 = f(x_2), etc., entonces

d(x_2, x_1)=d(f(x_1), f(x_0))\le a d(x_1, x_0);

d(x_3,x_2)=d(f(x_2), f(x_1)) \le a d(x_2, x_1) \le a^2 d(x_1, x_0);

y, en general d(x_{n+1}, x_n) \le a^n d(x_1, x_0). Así que, la distancia entre cualquiera dos términos x_n, x_m de la sucesión, n>m, está estimada por

d(x_n, x_m) \le d(x_n,x_{n-1}) + d(x_{n-1},x_{n-2}) + \ldots + d(x_{m+1},x_m)

\le \big( a^{n-1} + a^{n-2} + \ldots + a^m \big) d(x_1,x_0) = a^m\dfrac{1 - a^{n-m}}{1-a} d(x_1,x_0)

\le \dfrac{a^m}{1-a} d(x_1,x_0) \to 0,

por lo que, como el espacio X es completo, la sucesión converge, digamos x_n\to x. No es muy difícil ver que, efectivamente, este x es un punto fijo. Más aún, este punto fijo es único.

Una metáfora útil para comprender el teorema de punto fijo de manera intuitiva es a través de mapas. Consideremos una mapa de nuestra ciudad extendido sobre una mesa. El mapa, una descripción a escala a (por ejemplo, 1/10,000), puede verse como una contracción: cada punto de la ciudad está descrito en el mapa, y las distancias entre los puntos de la ciudad se hallan reducidos en una proporción a en el mapa. Más aún, como el mapa se encuentra extendido sobre una mesa dentro de la ciudad, entonces el mapa es una función de la ciudad en sí misma. El teorema de Banach, entonces, nos asegura que hay un único punto en la ciudad que corresponde a sí mismo sobre el mapa.

Las principales aplicaciones de los teoremas de punto en matemáticas se encuentran en la teoría de las ecuaciones diferenciales. Consideremos, por ejemplo, la ecuación diferencial

\dfrac{dy}{dx} = F(y,x),

con la condición inicial y(0) = y_0. Por el teorema fundamental del cálculo, podemos escribir esta ecuación como

\displaystyle y(x) = y_0 + \int_0^x F(y(t),t) dt.

Aquí observamos algo crucial: si definimos el operador \Phi, actuando sobre un espacio de funciones, como

\displaystyle \Phi(f)(x) = y_0 + \int_0^x F(f(t),t) dt,

entonces la solución a la ecuación que buscamos, y(x), es precisamente un punto fijo de \Phi. Así que solo nos resta encontrar un espacio de funciones que 1) sea completo, y 2) el operador \Phi sea una contracción.

El espacio apropiado resulta ser el espacio de las funciones continuas en un intervalo [-\epsilon, \epsilon] (luego escogeremos un número \epsilon correcto), con distancia entre funciones

d(f,g) = \max\{ |f(x) - g(x)|: x\in[-\epsilon, \epsilon]\}.

Los hechos que las funciones continuas sobre un intervalo cerrado tienen un máximo, y que el espacio de ellas es completo, son resultados básicos del análisis. Ahora bien, para calcular la distancia entre dos valores del operador \Phi, debemos estimar el máximo de

\displaystyle |\Phi(f)(x) - \Phi(g)(x)| \le \int_0^x \big| F(f(t),t) - F(g(t),t)\big| dt.

Si suponemos la condición de Lipschitz sobre F,

|F(y,x) - F(z,x)| \le M |y-z|,

donde M>0 es una constante independiente de los tres números x,y,z, entonces tenemos

\displaystyle |\Phi(f)(x) - \Phi(g)(x)| \le \int_0^x M|f(t) - g(t)| dt \le \epsilon M d(f,g),

si x\in[-\epsilon,\epsilon]. Ahora, si escogemos \epsilon suficientemente pequeño tal que a = \epsilon M < 1, entonces \Phi es una contracción en el espacio de funciones continuas. Concluimos entonces el siguiente teorema.

Teorema (Picard-Lindelöf). Si la función F(y,x) satisface uniformemente la condición |F(y,x) - F(z,x)| \le M|y-z|,, entonces existe una única función y(x) alrededor de x=0, con y(0) = y_0, tal que satisface la ecuación y' = F(y,x).

El teorema anterior lleva el nombre de los matemáticos Charles Émile Picard y Ernst Lindelöf.

El de Banach no es el único teorema de punto fijo conocido, desde luego. De hecho, estos teoremas son tan importantes en las matemáticas que la teoría de punto fijo es un área en sí misma dentro del análisis.


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