Ramanujan, en Numberphile

Esta semana, Numberphile presentó dos videos relacionados con el matemático indio Srinivasa Ramanujan. En el primero, hablaron sobre el número 1729 y la famosa anécdota de G. H. Hardy al visitar a Ramanujan en el hospital.

En el segundo, hablan sobre los enteros gaussianos \mathbb Z[\sqrt{-d}]: números de la forma a + b\sqrt{-d}, donde a,b\in\mathbb Z, y d es un entero positivo dado.

En general, no existe factorización única en \mathbb Z[\sqrt{-d}]. Por ejemplo, si d=5, entonces podemos factorizar 6, en primos, de dos maneras distintas:

6 = 2\times 3 = (1 - \sqrt{-5})\times(1+\sqrt{-5}).

(Desde luego, habría que probar que 1 + \sqrt{-5} y 1 - \sqrt{-5} son primos en  \mathbb Z[\sqrt{-d}].) De hecho, los únicos d para los cuales \mathbb Z[\sqrt{-d}] tiene factorización única son 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 y 163. El primero en demostrarlo fue el matemático alemán Kurt Heegner, por lo que son llamados números de Heegner.

Si tomamos el último número de ellos, 163, y elevamos e a su raíz cuadrada multiplicada por \pi, al resultado, e^{\sqrt{163}\pi} se le llama constante de Ramanujan. Su gracia es que este número, trascendente, es casi un entero. De hecho,

e^{\sqrt{163}\pi} \approx 640,320^3+744,

y la diferencia entre ellos es menor a 0.000000000001.

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