El teorema de la semana: el maximal de Hardy y Littlewood

Aprovecho que este blog aloja el carnaval de matemáticas de este mes para traer de regreso el teorema de la semana, que lo había dejado abandonado por varios meses. Hoy hablaré del teorema maximal de Hardy y Littlewood.

Para iniciar, definimos el promedio de una función integrable f en \mathbb R sobre un intervalo I como

\displaystyle \frac{1}{|I|} \int_ I f,

donde hemos denotado por |I| a la longitud del intervalo I. Es decir, el promedio de f es la suma (integral) de los valores de la función entre la longitud del intervalo sobre el cual estamos sumando.

Una pregunta natural es qué sucede cuando, para un número x\in\mathbb R y restringiendo a aquéllos intervalos que contienen a x,  |I| \to 0, es decir, cuando tomamos intervalos cada vez más pequeños alrededor de un número dado. Es relativamente fácil observar que, si la función f es continua en x, entonces

\displaystyle \lim_{\substack{|I|\to 0\\x\in I}} \frac{1}{|I|} \int_I f = f(x),

o sea, dicho promedio converge a al valor de la función en x. Para verlo recordemos que, para cualquier número positivo \varepsilon dado, |f(x) - f(y)|<\varepsilon si x,y\in I para un intervalo de longitud suficientemente pequeña. Para dicho intervalo,

\displaystyle \bigg|\frac{1}{|I|}\int_I f(y) dy - f(x)\bigg| = \bigg|\frac{1}{|I|}\int_I f(y) dy - f(x)\frac{1}{|I|}\int_I dy\bigg|

\displaystyle \leq \frac{1}{|I|}\int_I |f(y) - f(x)| dy < \frac{1}{|I|}\int_I \varepsilon dy = \varepsilon,

donde hemos utilizado, desde luego, el hecho que \int_I dy = |I|. Sin embargo, debemos preguntarnos qué sucede en aquellos puntos donde la función f no es continua.

GH Hardy y JE Littlewood observaron que para responder dicha pregunta es importante comprender el comportamiento “maximal” de los promedios de f alrededor del punto x. Es decir, consideraron la función maximal

\displaystyle Mf(x) = \sup_{x\in I} \frac{1}{|I|}\int_I |f|.

En otras palabras, tomamos todos los posibles promedios del valor absoluto |f| de la función alrededor de x, y luego, en caso de que sean acotados (de otra forma Mf(x)=\infty), tomamos la mínima cota superior de todos ellos. En otras palabras, para cualquier número positivo a, Mf(x)>a si y solo si existe algún promedio de |f| que sea mayor que a.

El comportamiendo de Mf es clave para entender las propiedades integrales de la función f, y no solo las de los promedios alrededor de cada punto. Hardy y Littlewood demostraron el siguiente teorema acerca de la función maximal. Al igual que con la longitud, escribimos |E| para denotar la medida del conjunto E (concepto que generaliza el de longitud para conjuntos en \mathbb R).

Teorema: Existe una constante A>0 tal que, para cualquier función f integrable en \mathbb R y a>0,

\displaystyle |\{ x\in\mathbb R: Mf(x) > a \}| \le \frac{A}{a}\int_{\mathbb R} |f|.

Es decir, la medida de los puntos donde la función maximal es mayor a a decrece de manera inversamente proporcional a a. La constante A es independiente de a y de la función f (de hecho, podríamos tomar A=3), y la integral \int_{\mathbb R} |f| es finita porque solo consideramos funciones integrables.

De manera inmediata, el teorema maximal de Hardy y Littlewood implica que Mf(x) no puede ser muy grande en muchos puntos; en particular, Mf(x) es finita en casi todos los puntos, o sea, el conjunto donde es infinita es de medida cero. Para concluirlo, solo debemos observar que, si Mf(x)=\infty, entonces Mf(x)>a para todo a, y entonces x pertenece a un conjunto cuya medida es menor a

\displaystyle\frac{A}{a}\int_{\mathbb R}|f|,

para todo a>0. Como \frac{A}{a}\int_{\mathbb R} |f| \to 0 cuando a crece, entonces x pertenece a un conjunto de medida cero.

Sin embargo, la principal consecuencia del teorema maximal es el siguiente enunciado, también conocido como teorema de diferenciación de Lebesgue.

Corolario: Si f es integrable en \mathbb R, entonces en casi todo punto x

\displaystyle \lim_{\substack{|I|\to0\\x\in I}} \frac{1}{|I|}\int_I f = f(x).

La demostración usa el teorema maximal de la siguiente forma: si el límite de los promedios alrededor de x de la función f no es f(x), entonces existe a>0 y una sucesión de intervalos I_n alrededor de x tales que |I_n|\to0 y

\displaystyle \bigg|\frac{1}{|I_n|}\int_{I_n}f - f(x)\bigg|\ge a           (1)

para todo n. Sin embargo, para cualquier \varepsilon>0 podemos encontrar una función continua g tal que \int_{\mathbb R}|f-g| < \varepsilon. Tenemos entonces

\displaystyle \bigg|\frac{1}{|I_n|}\int_{I_n}f - f(x)\bigg| \le \bigg|\frac{1}{|I_n|}\int_{I_n}(f-g)\bigg| + \bigg|\frac{1}{|I_n|}\int_{I_n}g - g(x)\bigg| + |g(x) - f(x)|.

Como g es continua, \frac{1}{|I_n|}\int_{I_n}g \to g(x), por lo que el segundo sumando de la desigualdad anterior converge a 0 cuando n\to\infty. El primer término, sin embargo, es menor a M(f-g)(x), por lo que en cualquier punto donde se cumpla (1) deberá cumplirse

M(f-g)(x)\ge \dfrac{a}{2}      o      g(x) - f(x)\ge \dfrac{a}{2}.

Por el teorema maximal, entonces, el conjunto donde ocurre (1) tiene medida menor a una constante por

\displaystyle \frac{1}{a}\int_{\mathbb R}|f-g| < \frac{\varepsilon}{a}

y, como \varepsilon>0 es arbitrario, tiene medida cero.


Teoremas de la semana anteriores: teorema de la semana.

Esta entrada participa en la edición 3.1415926 del Carnaval de Matemáticas, alojado en este blog.

5 comentarios en “El teorema de la semana: el maximal de Hardy y Littlewood

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