Teorema de la semana: la infinitud de los números primos

Después de algunas semanas de ausencia, regresa el teorema de la semana, esta vez con el teorema de Euclides sobre la infinitud de los números primos. De hecho, no creo que necesite mucha presentación:

Teorema: Existe una infinidad de números primos.

El teorema aparece como la proposición 20 en el noveno libro de “Los Elementos”, de Euclides, enunciado de la siguiente forma:

Los números primos son más que cualquier multitud específica de números primos.

Suena raro, pero en notación moderna escribiríamos:

Si A=\{p_1, p_2, \ldots, p_n\} es un conjunto finito de números primos, entonces A no contiene a todos los números primos.

Escrito así, la demostración de Euclides es clara: sea N=p_1p_2\cdots p_n la multiplicación de los elementos de A y consideremos N+1. N+1 es primo o es divisible entre un primo. Si N+1 es primo, como claramente no está en A, ya terminamos. Así que suponemos que existe un primo P que divide a N+1. Pero entonces P no puede estar en A; si estuviera, entonces P dividiría a N, y luego a (N+1) - N = 1, lo cual es imposible. Así que, en ambos casos, hemos encontrado un primo que no está en A.

La razón por la que que quise incluir el teorema de Euclides esta semana fue la carta Three Thoughts on “Prime Simplicity”, de Michael Hardy, que apareció en The Mathematical Intellingencer la semana pasada. Dicha carta contiene algunos comentarios (tres, exactamente) al artículo del mismo Hardy y de Catherine Woodgold, Prime Simplicity, que apareció en la misma revista en el 2009 (se requiere suscripción para leerlo; consulta en tu biblioteca universitaria).

En el artículo los autores comentan el error, muy común, de creer que la demostración de Euclides es una demostración por contradicción, lo cual no es el caso. No tenemos nada en contra de las demostraciones por contradicción (¡ey!, nuestros mejores amigos son demostraciones por contradicción), solo que la de Euclides no es una de ellas aunque, curiosamente, suele ponerse como ejemplo de “una de las primeras demostraciones por contradicción de la historia”. En el artículo ponen decenas de referencias con este error en libros de texto.

¿Quién fue el primero en cometer ese error?, no se sabe. Michael Hardy, en la carta mencionada antes, sospecha que fue Dirichlet en sus Conferencias sobre Teoría de Números, publicadas de manera póstuma en 1863, donde atribuye a Euclides la demostración que inicia así: “sean 2, 3, 5, \ldots, p todos los números primos”, y luego llega a una contradicción.


Para ver los teoremas de semanas anteriores: teorema de la semana.

Esta entrada participa en la edición 3.14159265 del Carnaval de Matemáticas, alojado este mes en el blog \pi/2.

6 comentarios en “Teorema de la semana: la infinitud de los números primos

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  4. miguel paredes hernandez

    En relacio con el teorema de la semana: el del valor medio
    Yo creo que la conclusión no es correcta

    Si x(t) es la función de posición de una partícula que se mueve sobre una recta coordenada y consideramos un intervalo de tiempo [a,b] por el Teorema del valor medio de Lagrange
    x(b)-x(a)/b-a=x'(c) donde c esta entre a y b
    Para los físicos las condiciones exigidas por el Tª del v.m. de Lagrange siempre se dan y no pongo objeciones a ello.
    En la igualdad anterior la parte de la izda. es la velocidad media de la partícula en el intervalo de tiempo [a,b], y la parte de la derecha es la velocidad instantánea en el instante c.
    La igualdad afirma que si se considera un intervalo de tiempo [a,b], debe existir un instante entre a y b en el que la velocidad de la partícula ha sido igual a la velocidad media de la partícula en dicho intervalo de tiempo.

    La guardia civil mide la velocidad media de un coche en un intervalo de tiempo, por ejemplo en el intervalo de tiempo que transcurre desde que un coche entra en un túnel hasta que sale, y si esa velocidad media supera la velocidad permitida denuncian puesto que la velocidad instantánea dentro del túnel al menos en un instante ha sido igual a la velocidad media. Pero este argumento es falso puesto que la carretera no es recta luego el movimiento del coche no es rectilíneo y si la partícula no realiza un movimiento rectilíneo el Tª del v. m. de Lagrange deja de ser cierto, hay muchos ejemplos en la literatura matemática, y por lo tanto la multa es recurrible.

    Si r(t) es la función de posición de una partícula que se mueve sobre una trayectoria en el plano o espacio. Si consideramos un intervalo temporal [a,b], entonces la distancia total recorrida por la partícula en dicho intervalo de tiempo es
    s=∫_a^b▒〖IIr'(t)IIdt〗,(integral entre a y b)
    donde II.II es la norma euclídea.
    Entonces por el Tª de valor medio de las integrales,
    s=∫_a^b▒〖IIr'(t)IIdt〗=Iir’(c)II(b-a) ,donde c esta entre a y b,
    de donde,
    s/b-a=IIr’(c)II ,
    es decir, debe existir un instante entre a y b en el que la rapidez de la partícula ha sido igual al cociente entre la distancia recorrida por la partícula en un intervalo de tiempo y el tiempo transcurrido.
    Si la guardia civil esta utilizando este último resultado se supone que previamente han medido bien la distancia “s”, es decir, la longitud del túnel y que en carretera cuando estamos hablando de velocidad nos estamos refiriendo a la rapidez. Yo creo que lo que se hace es lo expuesto en segundo lugar y por lo tanto las denuncias son correctas

  5. Una modificación sencilla a la demostración de Euclides es la siguiente:
    Supón que q_1 = 2 y que para n\ge 2, q_n es definido como un primo que divide a q_1q_2\ldots q_{n-1} + 1. Entonces q_1, q_2,\ ldots es una lista infinita de primos. La lista no es única. Se puede hacer única de varias maneras, las dos más sencillas son:
    1) Define q_n como el primo más chico que divide a q_1q_2\ldots q_{n-1} + 1. Esta secuencia es llamada la primera secuencia Euclid-Mullin y los primeros valores son: 2, 3, 7, 43, 13, 53, 5, 6221671, 38709183810571, 139;2801, 11, 17, 5471, 52662739. Es conjeturado que esta secuencia contiene a todos los primos.

    2) Define q_n como el primo más grande que divide a q_1q_2\ldots q_{n-1} + 1. Esta secuencia es llamada la segunda secuencia Euclid-Mulliny los primeros valores de esta secuencia son: 2, 3, 7, 43, 139, 50207;340999, 2365347734339, 4680225641471129. Es fácil demostrar que la secuencia no contiene al primo 5. Y en los 60s Cox y Van-der-Pooten demostraron que la lista no contiene a los primos 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, y 47. Conjeturaron que hay infinitos primos que no estan en esta lista. Booker demostró el año pasado (2012) que hay infinitos primos que no están en la lista. La demostración requiere de algunas ideas muy técnicas. Recientemente mi colega Paul Pollack y yo escribimos una demostración suficientemente sencilla para una clase introductoria de teoría de números. En este link puedes accesar nuestro artículo.

    Saludos,
    Enrique

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