Teorema de la semana: el del valor medio

Diariamente manejo mi automóvil desde mi casa a la universidad en un trayecto de unos 9 kilómetros, que los recorro en 15 minutos. Como 15 minutos es un cuarto de hora, esto implica que mi velocidad promedio es de 36 kilómetros por hora.

Ahora bien, durante el recorrido, hay partes donde puedo moverme a 100 kilómetros por hora, y en otras estoy completamente detenido en un semáforo. La pregunta es esta: ¿en algún momento me estoy moviendo a, exactamente, 36 km/h?

La respuesta está dada por nuestro teorema de esta semana.

Teorema del valor medio. Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en (al menos) su interior (a,b). Entonces existe un punto c\in(a,b) donde

f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}.

¿Qué tiene que ver la derivada de una función con mi recorrido diario al trabajo? Pues el hecho que la velocidad “instantánea” de un objeto en movimiento está dado por la derivada de la función que describe su posición.

Así, si mi recorrido está descrito por la función f(t), donde t es el tiempo, que toma valores desde t=0 a t=1/4 de hora, entonces debe existir un momento t_0 donde

f'(t_0) = \dfrac{f(1/4) - f(0)}{1/4-0} = \dfrac{9}{1/4} = 36,

porque en t=1/4 de hora he recorrido f(1/4)=9 kilómetros. Así que en el instante t_0 estoy viajando a 36 km/h.

La demostración del teorema del valor medio no es difícil y se sigue del teorema de Rolle, del cual ya hemos hablado aquí (cuando hablamos de Michel Rolle). Si g es la función de la recta que pasa por los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)), entonces

g(t) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(t-a) + f(b).

Ahora bien, la función f(t)-g(t) satisface que f(a)-g(a)=f(b)-g(b)=0, por lo que el teorema de Rolle implica que hay un punto c\in(a,b) donde su derivada es cero. En dicho punto, desde luego, f'(c)=g'(c), pero

g'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a},

por lo que el teorema del valor medio queda demostrado.

Tomada de la Wikipedia.
Imagen tomada de Wikipedia.

La importancia del teorema del valor medio radica en sus consecuencias, que son tan extensas que lo convierten en uno de los más importantes de todo el cálculo. Su misma demostración nos describe el significado geométrico del teorema: en el punto c, la tangente a la gráfica de f es paralela a la recta secante del punto (a,f(a)) a (b,f(b)), como se muestra en la figura de la derecha.

Sin embargo, el teorema del valor medio implica las siguientes propiedades de una función f diferenciable en un intervalo:

  1. Si f'(x)=0 para todo x, entonces f es constante;
  2. si f'(x)>0 para todo x, entonces f es creciente; y
  3. si f'(x)<0 para todo x, entonces f es decreciente.

En particular, 2 y 3 implican que la función es inyectiva, es decir, no repite ninguno de sus valores. Más aún, el criterio de crecimiento o decrecimiento es fundamental para la comprensión del comportamiento de una función. Esto nos permite obtener información importante en caso de que la función modele algún sistema tomado de alguna aplicación real.

Aún más: si sabemos, por ejemplo, que la derivada está acotada, digamos f'(x)\le 2 para todo x, entonces |f(x)-f(y)|\le 2|x-y|, por lo que las diferencias entre los valores de la función no crecen más que las diferencias de su argumento multiplicadas por 2.

Por ejemplo, regresando al ejemplo del automóvil, si sabemos que un camino tiene como velocidad máxima (legal) 60km/h, entonces, en un par de horas, no debemos avanzar más de 2\times 60 = 120 kilómetros. Si lo hacemos, el teorema del valor medio implica que en algún momento corríamos a exceso de velocidad.


Teoremas de la semana anteriores: teorema de la semana.

El teorema de esta semana participa en la edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

2 comentarios en “Teorema de la semana: el del valor medio

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