Teorema de la semana, de mis clases: el teorema de la función implícita

El teorema de esta semana sale de la pareja de teoremas clásicos del cálculo de varias variables que estudiamos hace un par de semanas precisamente en mi clase de Análisis de Varias Variables: el teorema de la función inversa y el de la función implícita. Así que en este post, hablando del segundo, combino la serie “teorema de la semana” junto con “de mis clases“, así como también participo en el carnaval de matemáticas. Tres pájaros de un solo teorema.

Consideremos la ecuación

x^2 + y^2 = 1,

que describe al círculo unitario con centro en el origen en el plano. Una pregunta natural es la siguiente: ¿esta ecuación define a una de las coordenadas, digamos y, como función de la otra, x? En otras palabras, ¿existe una función f(x) tal que los puntos (x,f(x)) describan las soluciones de esta ecuación?

Circulo-Implicita1La respuesta es no, de hecho, ya que para cada x entre -1 y 1, la ecuación tiene dos soluciones para y,

y= \sqrt{1-x^2}          y           y = -\sqrt{1-x^2},

como se puede observar en la figura de la izquierda. Circulo-Implicita2 Sin embargo, si nos acercamos a uno de dichos puntos, digamos (x_0, y_0) (figura de la derecha), entonces tal parece que la ecuación sí define a y como función de x. Decimos entonces que la ecuación define localmente a y como función de x alrededor del punto (x_0, y_0), solución de la ecuación.

Circulo-Implicita3¿Es posible hacer lo mismo alrededor de cada punto solución de la ecuación? De nuevo, la respuesta es no, como lo muestra la figura de la izquierda en un acercamiento al punto solución (1,0): no importa cuánto nos acerquemos a dicho punto, la ecuación siempre tendrá dos soluciones en y para cada punto x menor a 1 (además, la ecuación no tiene solución si x>1). Así que la ecuación no define, ni localmente, a y como una función de x cerca del punto (1,0).

¿Cuál es la diferencia cualitativa entre el punto anterior y (1,0)? ¿Existe algún criterio que nos permita garantizar la definición implícita de y como función de x?

Podemos hacer la pregunta en general: consideremos la ecuación

F(x,y) = 0

y (x_0,y_0) un punto en el plano que resuelve la ecuación; es decir, F(x_0,y_0)=0. ¿Cuáles son las condiciones suficientes para garantizar que cerca del número x_0 podemos definir una función f(x) tal que F(x,f(x))=0? La respuesta nos la da el teorema de esta semana.

Teorema de la función implícita. Sea F(x,y) una función continuamente diferenciable, (x_0,y_0) un punto en su dominio tal que F(x_0,y_0)=0 y \dfrac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)\not=0. Entonces existe un intervalo alrededor de x_0, digamos I=(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon), y una función  diferenciable f(x) en I, tal que F(x,f(x)) = 0 para todo x\in I.

En otras palabras, si el cambio instantáneo de F(x,y) con respecto a y (la derivada parcial) no se anula en (x_0,y_0), la ecuación F(x,y)=0 define a y como función de x alrededor de (x_0,y_0): y = f(x).

La demostración de este teorema es técnica, y de hecho uno necesita un par de sesiones en clase para completar la demostración (debe hacerse junto a la demostración del teorema de la función inversa; ambos son equivalentes). Así que no es apropiada para este blog. Sin embargo, si regresamos a nuestro ejemplo original, este teorema nos permite responder las preguntas hechas más arriba sobre la diferencia cualitativa del punto (1,0) del círculo y el resto.

En nuestro ejemplo la función F(x,y) está dada por

F(x,y) = x^2 + y^2 - 1.

En tal caso, la derivada parcial con respecto a y (es decir, la derivada considerando a x como constante) en cada punto (x_0,y_0) está dada por

\dfrac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0) = 2y_0.

Así, esta derivada se anula cuando y_0 = 0, o sea en los puntos (1,0) y (-1,0). En dichos puntos, la tangente al círculo es vertical. En el resto, su tangente tiene una inclinación con pendiente bien definida. Esta diferencia la observamos en las dos figuras anteriores, y es fundamental para la existencia de la función implícita buscada.


Más teoremas de la semana: teorema de la semana.

Para más entradas de mis clases: de mis clases.

Esta entrada participa en la edición 4.12 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es High Ability Dimension.

3 comentarios en “Teorema de la semana, de mis clases: el teorema de la función implícita

  1. Pingback: Anónimo

  2. Excelente entrada. Tan sucinta como diáfana. En ese sentido, y en vista de que se expone un ejemplo entorno al teorema, les creeré sin tener la demostración del mismo a la mano. Luego habrá tiempo para encontrarla.

    Saludos. :D

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s