La serie divergente más famosa

Creo que la serie divergente más famosa es 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots. Más aún, aunque la serie es divergente, es sumable bajo varios métodos de sumabilidad. En Numberphile, James Grime nos platica sobre esta serie, en particular, sobre sus sumas de Cesàro.

La serie también es Abel sumable. Si definimos

A(r) = 1 - r + r^2 - r^3 + r^5 - r^6 + \ldots,

entonces vemos que, cuando r\to 1, los términos de A(r) son los mismos que nuestra serie original, 1 o -1 alternadamente. Más aún,

A(r) = \dfrac{1}{1+r}

cuando r< 1. Así que, en el límite r\to 1, tenemos que A(r) \to \dfrac{1}{2}, al igual que sus sumas de Cesàro.

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