Teorema de la semana: conjuntos autosimilares

He descuidado bastante al blog, y sobre todo a una de mis secciones favoritas: el teorema de la semana (al fin y al cabo escribo sobre mis teoremas favoritos). Así que regresa esta sección aprovechando el Carnaval de Matemáticas y, como la fecha de inicio conmemora el natalicio de Benoit Mandelbrot, traeré no solo uno sino dos teoremas relacionados con fractales, ambos debidos a John Hutchinson y ambos sobre fractales autosimilares.

Un conjunto autosimilar es un conjunto que es igual a una unión de imágenes de sí mismo. Es decir, K es autosimilar si existen funciones f_i:K\to K, i=1, 2, \ldots, N, tales que

K = f_1(K) \cup f_2(K) \cup \ldots \cup f_N(K).

Un ejemplo sencillo de un conjunto autosimilar, aunque aburrido, es el intervalo [0,1]. Si f_1(x) = \dfrac{1}{2}x y f_2(x) = \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}, entonces

f_1([0,1])\cup f_2([0,1]) = \Big[0,\dfrac{1}{2}\Big]\cup\Big[\dfrac{1}{2},1\Big] = [0,1].

Ahora bien, si tenemos funciones f_1,f_2,\ldots, f_N definidas, digamos, en \mathbb R^n, ¿cuándo podemos garantizar que existe un conjunto K tal que es autosimilar repecto a estas funciones?

La observación clave es la siguiente: si definimos la función \Phi sobre los subconjuntos de \mathbb R^n de la forma

\Phi(A) = f_1(A)\cup f_2(A) \cup \ldots\cup f_N(A),

es decir, \Phi(A) es la unión de las imágenes de A bajo cada una de las funciones, entonces buscamos un conjunto K tal que

\Phi(K) = K,

o sea, un punto fijo de \Phi. Ya hemos hablado de puntos fijos aquí y, de hecho, tenemos un teorema de punto fijo: el de Banach. El teorema de Banach establece que toda contracción en un espacio métrico completo tiene un único punto fijo. ¿Podríamos usar este teorema para mostrar la existencia de un conjunto autosimilar?

La respuesta es sí: es posible definir una métrica en la colección de subconjuntos cerrados, no acotados y no vacíos de \mathbb R^n tal que dicha colección se vuelve un espacio métrico completo. En tal espacio, \Phi es una contracción si cada una de las funciones f_i lo es. Tenemos entonces nuestro teorema de la semana.

Teorema. Sean f_1, f_2, \ldots, f_N contracciones en \mathbb R^n. Entonces existe un único conjunto K\subset\mathbb R^n cerrado, acotado y no vacío tal que f_1(K)\cup f_2(K)\cup\ldots\cup f_N(K) = K.

Si recordamos la demostración del teorema de punto fijo de Banach, observamos que el punto fijo de la contracción es el límite de las iteraciones al iniciar en cualquier punto del espacio.

Por ejemplo, consideremos las contracciones en el plano \mathbb R^2 dadas por

f_1(x,y) = \dfrac{1}{2}(x,y), \quad f_2(x,y) = \dfrac{1}{2}(x+1,y), \quad f_3(x,y) = \dfrac{1}{2}\Big(x+\dfrac{1}{2},y+\dfrac{\sqrt 3}{2}\Big).

Estas tres funciones son contracciones, de constante 1/2, con puntos fijos (0,0), (1,0) y (1/2,\sqrt 3/2), que corresponden a los tres vértices de un triángulo equilátero. Ahora bien, si A es ese triángulo, entonces las primeras iteraciones A_1 = \Phi(A), A_2 = \Phi(A_1), A_3 = \Phi(A_2) y A_4 = \Phi(A_3) se ven como en la siguiente figura.

SierIter

En el límite, obtenemos el llamado triángulo de Sierpinski. La octava iteración nos muestra ya una buena aproximación al conjunto.

Sier8

Ahora bien, recalcamos que podemos iniciar con cualquier conjunto, y el límite de las iteraciones será el mismo. Por ejemplo, si nuestro conjunto inicial es el cuadrado con vértices (0,0), (0,1),(1,0) y (1,1), entonces las primeras cuatro iteraciones se ven como sigue.

SierCuad

Vemos que, al principio, tenemos un conjunto muy distinto al triángulo de Sierpinski, pero poco a poco tenemos mejores aproximaciones. De nuevo, la octava iteración se ve como sigue.

SierCuad8

Otra vez tenemos una buena aproximación al conjunto límite.

La próxima semana discutiremos otro teorema de Hutchinson que nos permitirá calcular la dimensión fractal de estos conjuntos.


Esta entrada participa en la edición 4.12310562 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es ZTFNews.org.

4 comentarios en “Teorema de la semana: conjuntos autosimilares

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