Teorema de la semana: la dimensión de conjuntos autosimilares

Como lo había prometido al presentar el teorema de la semana anterior, esta semana discutiremos un segundo teorema de John Hutchinson sobre conjuntos autosimilares: el relacionado a su dimensión de Hausdorff.

Primero discutimos la dimensión de Hausdorff de un conjunto A\subset\mathbb R^n. Para cualquier número positivo \delta, consideramos todas las posibles cubiertas \{ U_i: i\in\mathbb N\} del conjunto A tales que cada U_i tiene diámetro igual o menor a \delta. Los U_i pueden ser cualquier tipo de conjunto, siempre y cuando su diámetro no pase de \delta. A dicha cubierta le llamamos una \delta-cubierta para A.

Ahora bien, para un número nonegativo s\ge 0, consideramos el número

H^s_\delta (A) = \inf\{ \sum_i |U_i|^s : \text{ los } U_i \text{ forman una } \delta \text{-cubierta para } A\},

es decir, el mayor número por debajo de todas las sumas de la forma \sum_i |U_i|^s con \delta-cubiertas para A, donde |U_i| representa el diámetro de U_i.  A dicho número se le conoce como el ínfimo de las sumas, y debe existir porque al menos 0 está por debajo de dichas sumas (puede ser igual a \infty, si todas las sumas divergen).

Está claro que, conforme \delta decrece, hay menos \delta-cubiertas para A, y por lo tanto menos sumas, así que su ínfimo crece. Es decir,

si \delta < \eta, entonces H^s_\delta(A) \ge H^s_\eta(A).

Por lo tanto, el límite

\displaystyle H^s(A) = \lim_{\delta\to0}H_\delta^s(A)

existe, y es llamado la medida de Hausdorff de A de dimensión s. Más aún, vemos que, de igual forma, el número H^s(A) decrece conforme el exponente s crece, o sea, H^s(A) \ge H^t(A) si s<t. Sin embargo, lo hace de una manera extrema.

Si s < t y |U_i| \le \delta, entonces

|U_i|^t = |U_i|^{s+(t-s)} \le \delta^{t-s} |U_i|^s,

por lo que entonces \delta^{t-s} H_\delta^s(A) \ge H_\delta^t(A). Esto implica que, si H^s(A) < \infty, entonces H^t(A) = 0 y, al revés, si H^t(A)>0, entonces H^s(A) = \infty.

HausdorffAsí, solo puede existir un único exponente para el cual la medida de Hausdorff de A no es cero ni infinita: es decir, existe un único d tal que, si s<d, entonces H^s(A)=\infty y, si s>d, entonces H^s(A)=0. El número d es llamado la dimensión de Hausdorff del conjunto A.

La gráfica de la derecha muestra el comportamiento de H^s(A): el número d es el punto de salto de \infty a 0 de la medida H^s(A), en función del exponente s.

A simple vista, la dimensión de Hausdorff de un conjunto parece incalculable: para empezar, ¿cómo calculamos cada H_\delta^s(A), si es imposible considerar todas las \delta-cubiertas? Luego el límite cuando \delta\to0, y finalmente comparar todos los valores de H^s(A). ¡Imposible!

Sin embargo, esto sí lo podemos hacer si A es autosimilar. Recordemos que un conjunto es autosimilar si

A = f_1(A)\cup f_2(A) \cup\ldots\cup f_N(A),

para ciertas funciones f_i: A\to A. Si cada f_i es una contracción con constante a_i<1 (es decir, f_i contrae los puntos a escala a_i), entonces estas funciones contraen los diámetros de cada subconjunto de A a escala a_i, es decir, |f_i(B)| \le a_i |B|.

Más aún, observamos que la colección de conjuntos

f_{i_1}(f_{i_2}(\cdots(f_{i_k}(A))\cdots))

forman una cubierta para A y, como su diámetro es a lo más a_{i_1}a_{i_2}\ldots a_{i_k}|A|, entonces formarán una \delta-cubierta si k (el número de veces que aplicamos las contracciones) es suficientemente grande. Así, obtenemos entonces que

\displaystyle H^s_\delta(A) \le \sum_{i_1,i_2,\ldots,i_k}a_{i_1}^sa_{i_2}^s\cdots a_{i_k}^s |A|^s.

Para poder tomar el límite cuando \delta\to0, necesitamos poner una cota a las sumas. Esto lo logramos si escogemos el exponente s de forma apropiada. No es muy difícil ver que existe un único número t tal que

a_1^t +a_2^t + \ldots + a_N^t = 1.

Si escogemos s=t, vemos que todas las sumas son iguales a |A|^t, para cualquier \delta, y entonces concluimos que

H^t(A) \le |A|^t < \infty

y, así, la dimensión de Hausdorff d de A satisface d\le t.

Para garantizar la igualdad, necesitamos asegurarnos que los conjuntos f_{i_1}(f_{i_2}(\cdots(f_{i_k}(A))\cdots)) no tengan traslapes “demasiado grandes”. La condición que encontró Hutchinson es conocida como la condición del conjunto abierto, y consiste en la existencia de un conjunto abierto U tal que

  1. f_i(U) \subset U para cada i=1, 2, \ldots, N;
  2. f_i(U)\cap f_j(U) = \emptyset si i\not=j.

De esta forma, los traslapes de los conjuntos de arriba solo pueden consistir en sus fronteras. Tenemos entonces nuestro teorema de la semana.

Teorema (Hutchinson). Sean f_1, f_2, \ldots, f_N contracciones en \mathbb R^n con constantes a_1, a_2, \ldots, a_N, y sea A\subset \mathbb R^n el conjunto autosimilar con respecto a estas contracciones. Si se satisface la condición del conjunto abierto, entonces la dimensión de Hausdorff de A es el único número d tal que

a_1^d + a_2^d + \ldots + a_N^d = 1.

Sier8Por ejemplo, calculemos la dimensión del triángulo de Sierpinski, conjunto autosimilar que discutimos en el teorema de la semana pasada. Este conjunto es autosimilar con respecto a tres contracciones con constante \dfrac{1}{2}, por lo que su dimensión de Hausdorff es entonces el número d tal que

\dfrac{1}{2^d} + \dfrac{1}{2^d} + \dfrac{1}{2^d} = 1,

o sea, 2^d = 3. Por lo tanto, la dimensión de Hausdorff del triángulo de Sierpinski es igual a

d = \dfrac{\log 3}{\log 2} \approx 1.585.

Así, el triángulo de Sierpinski es un ejemplo de un conjunto de dimensión fraccional. A dichos conjuntos los llamamos fractales.


Esta entrada participa en la edición 4.12310562 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es ZTFNews.org.

4 comentarios en “Teorema de la semana: la dimensión de conjuntos autosimilares

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