Los babilónicos usaban cálculo

TabletasBab.jpgAdelantándosele a Newton por más de 2,000 años, los astrónomos babilónicos sabían que la distancia recorrida por un objeto es la integral de su velocidad a través del tiempo. Al menos así lo muestran unas tabletas con escritura cuneiforme estudiadas por Mathieu Ossendrijver, de la Universidad Humboldt, en el artículo Ancient Babylonian astronomers calculated Jupiter’s position from the area under a time-velocity graph, en Science, que describen el movimiento del planeta Júpiter calculando el área bajo la gráfica de su velocidad durante 60 días.

La traducción de la tableta de la figura de arriba es la siguiente:

  1. El día que aparece: 0;12, hasta 1,0 días, 0;9,30.
  2. 0;12 y 0;9,30 es 0;21,30, por 0;30
  3. es 0;10,45, por 1,0 es 10;45.
  4. Después de completar 1,0 día, hasta 1,0 día 0;1,30.
  5. 0;9,30 y 0;1,30 es 0;11, por 0;30 es 0;5,30.
  6. 0;5,30 por 1,0 días es 5;30. (borrado) 10;45 y 5;30 es
  7. 16;15, en total. Desde su aparición hasta el final el movimiento es 16;15

En símbolos matemáticos actuales, podemos escribirlo como sigue (recuerden que los babilónicos usaban un sistema sexagesimal, por lo que todas las cantidades están escritas en base 60: 1,0 = 60, 0;30 = 30/60 = ½, etc.):

  1. v(0) = 0;12 \qquad v(1,0) = 0;9,30
  2. 0;12 + 0;9,30 = 0;21,30 \qquad 0;21,30\times 0;30
  3. = 0;10,45\qquad 0;10,45 \times 1,0 = 10;45
  4. v(2,0) = 0;1,30
  5. 0;9,30 + 0;1,30 = 0;11\qquad 0;11\times 0;30 = 0;5,30
  6. 0;5,30 \times 1,0 = 5;30\qquad 10;45 + 5;30 =
  7. 16;15

Si representamos estos cálculos en una gráfica, tenemos un par de trapecios de la siguiente forma, y las líneas 3 y 6 de arriba calculan el área de cada trapecio:

TabletasTrapecios.pngLa suma de las áreas de estos trapecios, el área bajo la gráfica de v(t), es entonces la integral de v(t):

\displaystyle \int_0^2 v(t) dt,

lo que nos da la distancia recorrida de 0 a 2,0 (60 días), el resultado en la línea 7. Así, según Ossendrijver, los babilónicos calcularon la distancia recorrida por Júpiter en 120 días por medio de una integral.

En el artículo de Ossendrijver se hace mención a otras tabletas. En una de ellas está descrita la solución al problema inverso de calcular el momento en que Júpiter ha hecho la mitad de su recorrido en los primeros 60 días, y en dicha tableta se calcula el punto t donde obtenemos la mitad del área del primer trapecio (en 28;15,42,… días).

Los detalles del estudio se encuentran en el artículo de Ossendrijver. La traducción de la tableta que puse arriba, así como fotografías y el contenido de las otras tabletas estudiadas, se encuentran en el material adicional al artículo, también disponible en ScienceSupplementary Materials.

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