El teorema de la semana: el de los números primos

Reiniciaré la sección teorema de la semana con un teorema sobre números primos, al fin que han estado de moda en las últimas semanas por la noticia del primo más grande encontrado.

De hecho, nos haremos la siguiente pregunta: ¿qué tan difícil es encontrar número primos grandes? Los primos son los números p que tienen exactamente dos divisores: 1 y p. Así, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 son números primos. Conforme vamos avanzando, observamos que, como hay un mayor número de divisores posibles para cada entero, entonces cada vez los números primos son más raros.

La siguiente tabla nos da el número de números primos entre 1 y N, para diversos números N (de diez a mil millones, en potencias de 10). El número de primos entre 1 y N se denota por \pi(N):

 N  \pi(N) \dfrac{N}{\pi(N)}
 10 4  2.5
 100  25  4.0
 1,000 168  5.95
 10,000 1,229  8.14
 100,000  9,592 10.4
 1,000,000 78,498  12.7
 10,000,000 664,579  15.0
 100,000,000  5,761,455  17.4
 1,000,000,000 50,847,534  19.7

Como podemos observar, mientras que entre los números 1 al 10 hay 4 primos, casi la mitad de ellos, entre 1 y el 100,000 hay menos de 10,000, la décima parte, y entre 1 y 1,000,000,000, mil millones, hay apenas poco más de 50 millones, la vigésima parte. Así que, como habíamos sospechado, cada vez hay menos primos. La pregunta natural, desde luego, es ¿qué tantos menos?

La tercer columna de la tabla nos da la proporción entre N y \pi(N). Si la  observamos con cuidado, vemos que la diferencia entre estas proporciones, para potencias de 10 consecutivas, es poco más de 2, aproximadamente 2.3. Así que esta proporción crece linealmente con respecto a las potencias de 10, por lo que entonces la proporción, respecto a N, crece logarítmicamente con respecto a N.

Más aún, como \log 10 \approx 2.3, donde \log 10 es el logaritmo natural de 10, tenemos que

\dfrac{N}{\pi (N)} \approx \log N.

Este es, precisamente, el enunciado del teorema de los números primos.

Teorema. Si \pi(x) es el número de primos entre 1 y x, entonces

\pi(x) \sim \dfrac{x}{\log x}.

La relación asintótica, denotada por el símbolo ~, significa que \displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{\pi(x)}{x/\log x} = 1.

La demostración del teorema de los números primos es bastante avanzada como para este blog, aunque suele ser vista en cursos de análisis complejo de una licenciatura en matemáticas. Sin embargo, puedo decir que la demostración utiliza la famosa función zeta de Riemann, \zeta(s), y que el teorema depende de dónde se encuentran sus ceros. La relación entre \pi(x) y \zeta(s) fue descubierta por Bernard Riemann en 1859 (Riemann también conjeturó dónde se encuentra los ceros de \zeta(s), de hecho), aunque el teorema de los números primos no fue demostrado sino hasta finales de siglo (en 1896) por Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée-Poussin, de manera independiente.

Hace un par de semanas fue encontrado un primo de más o menos 22 millones de dígitos. ¿Qué tan difícil es encontrar un primo de ese tamaño? El teorema de los números primos nos lo dice: hay, en promedio, uno cada \log 10^{22,000,000}, el logaritmo natural de 10^{22,000,000}. Como

\log 10^{22,000,000} \approx 50,656,872.05,

entonces hay aproximadamente un número primo cada 50 millones de números. Está más fácil sacarse el Melate que encontrar un número primo al azar¹ de ese tamaño.

Para leer sobre teoremas anteriores: teorema de la semana.


¹En el Melate hay que atinarle a 6 números al azar, de 56 posibles. Así que la probabilidad de ganarlo es de 1 en 32 millones, aproximadamente.

Un comentario en “El teorema de la semana: el de los números primos

  1. Pingback: Los casi contraejemplos de Ramanujan para el teorema de Fermat – Series divergentes

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