Tiros de moneda consecutivos

Los de Numberphile publicaron un video sobre la diferencia, al tirar consecutivamente una moneda, entre esperar un resultado doble cara-cara y esperar un resultado mixto cara-sello. Aunque la probabilidad de cada evento es la misma, 1/4, el tiempo de espera es distinto.

Vean primero el video, y luego comentamos por qué ocurre eso.

En el video, James Grime tira una moneda 50 veces y cuenta cuántos tiros se necesitan para obtener un par HT (cara-sello) y para obtener un par HH (cara-cara). En su simulación, en promedio espera 4.5 tiros para obtener HT, mientras que, en promedio, necesita 7 tiros para obtener HH. Al final, aunque no lo demuestra, menciona el número esperado de tiros es 4 y 6, respectivamente.

La demostración de este resultado no es muy difícil, y revela la razón de esta diferencia. Para ello utilizaremos algo llamado esperanza condicional. Calculemos primero el valor esperado de tiros necesarios para obtener HT. Denotemos esta cantidad como E[HT], y suponemos que tiramos la primer moneda.

El resultado de este primer tiro puede ser cara (H) o sello (T), y la probabilidad de cada evento es el misma, 1/2. Denotemos ahora como E[HT|H] el valor esperado de tiros necesarios para obtener HT dado que el primer resultado fue H, y como E[HT|T] el valor esperado de tiros necesarios si el primer resultado fue T.

Si el primer resultado fue H, entonces, para obtener HT, debemos esperar

1 + E[HT|H]

tiros para obtener HT, ya que llevamos un tiro y resultó H. Similarmente, si el primer tiro fue T, entonces debemos esperar

1 + E[HT|T]

para obtener HT. Por lo tanto, el valor esperado E[HT] satisface la ecuación

E[HT] = \dfrac{1}{2}(1 + E[HT|H]) + \dfrac{1}{2}(1 + E[HT|T]).

Necesitamos entonces calcular cada una de las cantidades E[HT|H] y E[HT|T]. Para la primera, observamos, como en el razonamiento anterior, que

E[HT|H] = \dfrac{1}{2}(1 + E[HT|HH]) + \dfrac{1}{2}(1 + E[HT|HT]),

donde E[HT|HH] y E[HT|HT] denotan los valores esperados de los tiros necesarios para obtener HT dado que el primer resultado fue H y el segundo fue H o T, respectivamente. Claramente, E[HT|HH] = E[HT|H], ya que nos quedamos como al principio, con una cara, mientras que E[HT|HT] = 0, porque no necesitamos esperar más tiros si ya tenemos HT. Así,

E[HT|H] = \dfrac{1}{2}(1 + E[HT|H]) + \dfrac{1}{2}(1) = 1 + \dfrac{1}{2}E[HT|H],

y al resolver esta ecuación obtenemos E[HT|H] = 2.

Ahora bien, E[HT|T] = E[HT], porque al obtener sello debemos esperar el mismo número de tiros que al principio, ya que buscamos el par HT. Por lo tanto, tenemos la ecuación

E[HT] = \dfrac{1}{2}(1 + 2) + \dfrac{1}{2}(1 + E[HT]) = 2 + \dfrac{1}{2}E[HT],

que al resolverla obtenemos E[HT] = 4.

Para calcular el valor de tiros necesarios para obtener HH, denotamos esta cantidad por E[HH] y, similarmente al caso anterior, tenemos la ecuación

E[HH] = \dfrac{1}{2}(1 + E[HH|H]) + \dfrac{1}{2}(1 + E[HH|T]),

donde E[HH|H] y E[HH|T] es el valor esperado que buscamos dado que el primero resultado es cara o sello, respectivamente. Como antes, E[HH|T] = E[HH], porque al caer sello quedamos como al principio, mientras que E[HH|H] satisface la ecuación

E[HH|H] = \dfrac{1}{2}(1 + E[HH|HH]) + \dfrac{1}{2}(1 + E[HH|HT]).

De nuevo, E[HH|HH] = 0 porque hemos obtenido el resultado deseado, pero ahora, a diferencia del caso HT, donde HH nos regresaba al estado H, tenemos que E[HH|HT] = E[HH], porque al caer un sello nos regresamos hasta el principio. En otras palabras, cuando buscamos HT, la repetición de estados HH…H son todas equivalentes a H, por lo que solo esperamos la llegada de T, mientras que al buscar HH la ocurrencia de T nos regresa al estado inicial, perdiendo inútilmente dos tiros.

De esta forma tenemos la ecuación

E[HH|H] = \dfrac{1}{2}(1) + \dfrac{1}{2}(1 + E[HH]) = 1 + \dfrac{1}{2}E[HH],

por lo que entonces E[HH] satisface

E[HH] = \dfrac{1}{2}\Big(1 + 1 + \dfrac{1}{2}E[HH]\Big) + \dfrac{1}{2}(1 + E[HH]) = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{4}E[HH],

cuya solución es E[HH] = 6.

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