El teorema de Bayes y las quejas en el País Vasco

Hoy vi la noticia que en el País Vasco los estudiantes que tomaron el examen de Selectividad para la Universidad del País Vasco, en particular, los que tomaron el examen de matemáticas aplicadas para ciencias sociales, se quejaban de la dificultad del mismo, lo que se ha reportado como una discordia. Mi primera reacción al ver tales noticias es siempre pensar “¡qué chillones!”, pero al leer la nota, y ver el video que la acompaña, con más detalles, mi segunda reacción fue pensar: “¡qué chillones!”

En el video vienen dos problemas del examen, supongo, los considerados “más difíciles”. El primero es un simple problema con matrices de 2\times 2, que ni siquiera voy a comentar aquí. El segundo, sin embargo, está más cotorro:

En mi ciudad llueve uno de cada tres días. Cuando llueve se producen atascos y la probabilidad de llegar tarde al trabajo es de 2/3. En cambio, cuando no llueve la probabilidad de llegar tarde al trabajo es de 1/8. Responder:

a) ¿Cuál es la probabilidad de llegar tarde al trabajo?

b) Hoy he llegado tarde al trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que haya llovido?

c) Sabiendo que ayer llovió y hoy no lo ha hecho, ¿cuál es la probabilidad de que haya llegado al trabajo uno de los dos días tarde y el otro puntual?

De acuerdo a unos de los entrevistados, el examen solo tiene temas que se han visto en bachillerato, por lo que Probabilidad es uno de ellos. Este problema es un ejercicio estándar de probabilidad, y una bonita aplicación del teorema de Bayes. Bayes ya ha aparecido en este blog varias veces [1, 2, 3], y nos dice cómo intercambiar probabilidades condicionadas.

La primera parte del problema pregunta al estudiante cuál es la probabilidad de llegar tarde al trabajo, y el enunciado nos dice que depende (está condicionada) a si llueve o no. Si llueve, la probabilidad es 2/3, y la denotamos por P(\text{llegar tarde}|\text{llueve}). Si no llueve, se denota por P(\text{llegar tarde}|\text{no llueve}), y el enunciado nos dice que es igual a 1/8. Así, como también nos dice que la probabilidad que llueva es 1/3 (uno de cada tres días), tenemos entonces que

P(\text{llegar tarde}) = P(\text{llegar tarde}|\text{llueve})P(\text{llueve}) + P(\text{llegar tarde}|\text{no llueve})P(\text{no llueve})

= \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{8} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{24} = \dfrac{11}{36}.

La segunda parte del problema es más interesante, ya que pide calcular una probabilidad condicionada inversamente: la probabilidad de que haya llovido dado que llegó tarde al trabajo. Aquí es donde aparece el teorema de Bayes, que permite “invertir” probabilidades condicionadas: si A, B son dos eventos, entonces tenemos

P(A|B) = \dfrac{P(B|A)\times P(A)}{P(B)}.

Como nos piden  P(\text{llueve}|\text{llegar tarde}), Bayes nos dice que

P(\text{llueve}|\text{llegar tarde}) = \dfrac{P(\text{llegar tarde}|\text{llueve})P(\text{llueve})}{P(\text{llegar tarde})}.

Ya tenemos todas las cantidades de la derecha: P(\text{llegar tarde}|\text{llueve}) = 2/3, P(\text{llueve}) = 1/3, y P(\text{llegar tarde}) = 11/36, que apenas calculamos en la primera parte. Así

P(\text{llueve}|\text{llegar tarde}) = \dfrac{2/3 \times 1/3}{11/36} = \dfrac{8}{11}.

Para la tercera parte, la probabilidad de que un día lleguemos tarde al trabajo y el otro día puntualmente. Hay dos posibilidades: el primer tarde y el segundo puntual, y el primer día puntual y el segundo tarde. Debemos calcular la probabilidad de cada una de dichas posibilidades, considerando que ya sabemos que el primer día llovió y el segundo no.

Como podemos asumir que los eventos de cada día son independientes (ya que no se dice lo contrario), la probabilidad de la primera posibilidad es simplemente la multiplicación

P(\text{llegar tarde}|\text{llueve})\times P(\text{no llegar tarde}|\text{no llueve}).

El primer factor es 2/3, como ya sabemos. El segundo factor es el complemento de la probabilidad de llegar tarde dado que no llueve, por lo que es 1-1/8=7/8, así que la probabilidad de la primer posibilidad es

\dfrac{2}{3}\times\dfrac{7}{8} = \dfrac{7}{12}.

Ahora bien, la probabilidad de la segunda posibilidad, estar puntual el primer día y tarde el segundo, es

P(\text{no llegar tarde}|\text{llueve})\times P(\text{llegar tarde}|\text{no llueve}) = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{24},

así que la respuesta a la tercera parte del problema es la suma

\dfrac{7}{12} + \dfrac{1}{24} = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8}.

No me parece que este problema sea difícil para un estudiante que cursó probabilidad en el bachillerato: probabilidad condicional, y el teorema de Bayes, es un tema muy básico. Más aún, es indispensable para quien se vaya dedicar a las ciencias sociales, considerando que probabilidad y estadística son prácticamente las únicas herramientas matemáticas que aprenden los que estudian ciencias sociales (aunque necesitan muchas más, pero eso es otra “discordia”).


Esta entrada participa en la edición 7.5 del Carnaval de Matemáticas, alojado en este blog.

 

3 comentarios en “El teorema de Bayes y las quejas en el País Vasco

  1. Pingback: Resumen del Carnaval de matemáticas, edición 7.5 – Series divergentes

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