Una sorprendente identidad con números de Fibonacci

Hoy me sorprendió este tuit de John Cook en su cuenta @AlgebraFact:

No conocía esta identidad, pero se sigue de un par de identidades trigonométricas y de números de Fibonacci. Aquí les presento la demostración.

Primero, necesitamos recordar la identidad trigonométrica de la tangente

\tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta},

que, desde luego, se sigue del par fundamental de identidades trigonométricas para \sin y \cos. Si tomamos en esta identidad x = \tan\alpha y y  =\tan\beta, obtenemos

\arctan x - \arctan y = \arctan\Big(\dfrac{x - y}{1 + xy}\Big).

Ahora, si F_n es la sucesión de Fibonacci, recordemos la identidad de Cassini

F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n,

la cual es un sencillo ejercicio de inducción matemática. Si reemplazamos n por 2n+1 obtenemos

F_{2n}F_{2n+2} - F_{2n+1}^2 = -1,

o

F_{2n+1}^2 = F_{2n}F_{2n+2} + 1.

Así, tenemos que

\dfrac{1}{F_{2n+1}} = \dfrac{F_{2n+1}}{F_{2n+1}^2} = \dfrac{F_{2n+2} - F_{2n}}{F_{2n}F_{2n+2}+1} = \dfrac{\dfrac{1}{F_{2n}} - \dfrac{1}{F_{2n+2}}}{1 + \dfrac{1}{F_{2n}}\dfrac{1}{F_{2n+2}}},

y por lo tanto

\arctan\Big(\dfrac{1}{F_{2n+1}}\Big) = \arctan\Big(\dfrac{\dfrac{1}{F_{2n}} - \dfrac{1}{F_{2n+2}}}{1 + \dfrac{1}{F_{2n}}\dfrac{1}{F_{2n+2}}}\Big) = \arctan\dfrac{1}{F_{2n}} - \arctan\dfrac{1}{F_{2n+2}}.

De esta manera, las sumas parciales de la serie son sumas telescópicas, y son iguales a

\displaystyle \sum_{n=1}^N \arctan\Big(\dfrac{1}{F_{2n+1}}\Big) = \sum_{n=1}^N \Big(\arctan\dfrac{1}{F_{2n}} - \arctan\dfrac{1}{F_{2n+2}}\Big) = \arctan\dfrac{1}{F_2} - \arctan\dfrac{1}{F_{2N+2}}.

Como F_2 = 1 y \arctan\dfrac{1}{F_{2N+2}} \to 0, tenemos finalmente

\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \arctan\Big(\dfrac{1}{F_{2n+1}}\Big) = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}.


Esta entrada participa en la edición 8.6 del Carnaval Matemático, cuyo anfitrión es, en esta ocasión, Matemático Soriano.

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