Una sorprendente identidad con números de Fibonacci

Hoy me sorprendió este tuit de John Cook en su cuenta @AlgebraFact:

Fibonacci trig identity pic.twitter.com/fBTq6MbRMM

— Algebra Fact (@AlgebraFact) December 5, 2017

No conocía esta identidad, pero se sigue de un par de identidades trigonométricas y de números de Fibonacci. Aquí les presento la demostración.

Primero, necesitamos recordar la identidad trigonométrica de la tangente

$\tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta},$

que, desde luego, se sigue del par fundamental de identidades trigonométricas para $\sin$ y $\cos$ . Si tomamos en esta identidad $x = \tan\alpha$ y $y =\tan\beta$ , obtenemos

$\arctan x - \arctan y = \arctan\Big(\dfrac{x - y}{1 + xy}\Big)$ .

Ahora, si $F_n$ es la sucesión de Fibonacci, recordemos la identidad de Cassini

$F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n$ ,

la cual es un sencillo ejercicio de inducción matemática. Si reemplazamos n por $2n+1$ obtenemos

$F_{2n}F_{2n+2} - F_{2n+1}^2 = -1$ ,

$F_{2n+1}^2 = F_{2n}F_{2n+2} + 1$ .

Así, tenemos que

$\dfrac{1}{F_{2n+1}} = \dfrac{F_{2n+1}}{F_{2n+1}^2} = \dfrac{F_{2n+2} - F_{2n}}{F_{2n}F_{2n+2}+1} = \dfrac{\dfrac{1}{F_{2n}} - \dfrac{1}{F_{2n+2}}}{1 + \dfrac{1}{F_{2n}}\dfrac{1}{F_{2n+2}}}$ ,

y por lo tanto

$\arctan\Big(\dfrac{1}{F_{2n+1}}\Big) = \arctan\Big(\dfrac{\dfrac{1}{F_{2n}} - \dfrac{1}{F_{2n+2}}}{1 + \dfrac{1}{F_{2n}}\dfrac{1}{F_{2n+2}}}\Big) = \arctan\dfrac{1}{F_{2n}} - \arctan\dfrac{1}{F_{2n+2}}.$

De esta manera, las sumas parciales de la serie son sumas telescópicas, y son iguales a

$\displaystyle \sum_{n=1}^N \arctan\Big(\dfrac{1}{F_{2n+1}}\Big) = \sum_{n=1}^N \Big(\arctan\dfrac{1}{F_{2n}} - \arctan\dfrac{1}{F_{2n+2}}\Big) = \arctan\dfrac{1}{F_2} - \arctan\dfrac{1}{F_{2N+2}}.$