Una sorprendente identidad con números de Fibonacci

Hoy me sorprendió este tuit de John Cook en su cuenta @AlgebraFact:

No conocía esta identidad, pero se sigue de un par de identidades trigonométricas y de números de Fibonacci. Aquí les presento la demostración.

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La paradoja de Zenón


*Publicada en Corolario, suplemento de la Facultad de Ciencias


Un día Aquiles, el héroe mítico, gran atleta y guerrero, aceptó participar en una carrera contra una tortuga. Como la tortuga era un poco más lenta que él, se decidió darle una distancia de ventaja, a fin de hacer la carrera más justa.

El oráculo, sin embargo, le advirtió a Aquiles:

Cuando inicie la carrera, la tortuga, al iniciar con ventaja, estará delante de ti. Cuando llegues al punto de partida de la tortuga, ésta ya habrá avanzado, y estará delante de ti. Cuando llegues al punto donde llegó la tortuga inicialmente, está ya se habrá movido, y estará delante de ti. Cada vez que llegues al punto donde estaba la tortuga, ésta habrá avanzado. La tortuga siempre estará delante de ti.

¿Tiene razón el oráculo? Este razonamiento contradice nuestra idea de movimiento, y el hecho que, como Aquiles es más rápido que la tortuga, finalmente debería alcanzarla. ¿Cuál es el problema del razonamiento anterior?

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El ejemplo de la mosca

Hoy, en mi clase de cálculo, estudiamos como ejemplo de una serie la que aparece del siguiente problema.

Una mosca vuela entre dos ciclistas, cada uno avanzando en dirección opuesta a 20 km/h. La mosca vuela de uno de ellos en la dirección del otro, y cada vez que llega a él regresa y vuela al primero. Si la mosca vuela entre los dos hasta que los ciclistas se encuentran, su velocidad es de 30 km/h y la distancia inicial entre los ciclistas es 10 km, ¿cuál es la distancia total que vuela la mosca?

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