El teorema de la semana: el de los números primos

Reiniciaré la sección teorema de la semana con un teorema sobre números primos, al fin que han estado de moda en las últimas semanas por la noticia del primo más grande encontrado.

De hecho, nos haremos la siguiente pregunta: ¿qué tan difícil es encontrar número primos grandes? Los primos son los números p que tienen exactamente dos divisores: 1 y p. Así, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 son números primos. Conforme vamos avanzando, observamos que, como hay un mayor número de divisores posibles para cada entero, entonces cada vez los números primos son más raros.

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Teorema de la semana: la dimensión de conjuntos autosimilares

Como lo había prometido al presentar el teorema de la semana anterior, esta semana discutiremos un segundo teorema de John Hutchinson sobre conjuntos autosimilares: el relacionado a su dimensión de Hausdorff.

Primero discutimos la dimensión de Hausdorff de un conjunto A\subset\mathbb R^n. Para cualquier número positivo \delta, consideramos todas las posibles cubiertas \{ U_i: i\in\mathbb N\} del conjunto A tales que cada U_i tiene diámetro igual o menor a \delta. Los U_i pueden ser cualquier tipo de conjunto, siempre y cuando su diámetro no pase de \delta. A dicha cubierta le llamamos una \delta-cubierta para A.

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Teorema de la semana: conjuntos autosimilares

He descuidado bastante al blog, y sobre todo a una de mis secciones favoritas: el teorema de la semana (al fin y al cabo escribo sobre mis teoremas favoritos). Así que regresa esta sección aprovechando el Carnaval de Matemáticas y, como la fecha de inicio conmemora el natalicio de Benoit Mandelbrot, traeré no solo uno sino dos teoremas relacionados con fractales, ambos debidos a John Hutchinson y ambos sobre fractales autosimilares.

Un conjunto autosimilar es un conjunto que es igual a una unión de imágenes de sí mismo. Es decir, K es autosimilar si existen funciones f_i:K\to K, i=1, 2, \ldots, N, tales que

K = f_1(K) \cup f_2(K) \cup \ldots \cup f_N(K).

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Teorema de la semana, de mis clases: el teorema de la función implícita

El teorema de esta semana sale de la pareja de teoremas clásicos del cálculo de varias variables que estudiamos hace un par de semanas precisamente en mi clase de Análisis de Varias Variables: el teorema de la función inversa y el de la función implícita. Así que en este post, hablando del segundo, combino la serie “teorema de la semana” junto con “de mis clases“, así como también participo en el carnaval de matemáticas. Tres pájaros de un solo teorema.

Consideremos la ecuación

x^2 + y^2 = 1,

que describe al círculo unitario con centro en el origen en el plano. Una pregunta natural es la siguiente: ¿esta ecuación define a una de las coordenadas, digamos y, como función de la otra, x? En otras palabras, ¿existe una función f(x) tal que los puntos (x,f(x)) describan las soluciones de esta ecuación?

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