Números narcisistas

El video de hoy, preparado por Numberphile, está dedicado a los números narcisistas, aquellos números de n dígitos cuya suma de las n-ésimas potencias de sus dígitos son ellos mismos. El ejemplo trivial de dichos números es el 1, ya que 1^1 = 1, y, de hecho, todos los dígitos son narcisistas (el 0 no es considerado como tal). El mínimo ejemplo no trivial es 153, número de tres dígitos que satisfacen

1^3 + 5^3 + 3^3 = 1 + 125 + 27 = 153.

Existen cuatro números narcisistas de tres dígitos: 153, 370, 371 y 407. De cuatro dígitos existen tres, el mínimo de ellos es 1634:

1^4 + 6^4 + 3^4 + 4^4 = 1 + 1296 + 81 + 256 = 1634.

En el video mencionan al 8208, y el tercero de ellos es 9474.

Es fácil ver que solo existe un número finito de números narcisistas: la máxima suma de las n-ésimas potencias de los dígitos de un número de n dígitos es, desde luego, n\times 9^n, la suma de n n-ésimas potencias de 9. Claramente, existe un número N tal que

n\times 9^n < 10^{n-1}                    (*)

para todo n>N, por lo que no puede haber números narcisistas de N o más dígitos. De hecho, la desigualdad (*) es cierta para n>60.

Solo existen 88 números narcisistas. Lo dos más grandes tienen 39 dígitos: 115132219018763992565095597973971522400 y 115132219018763992565095597973971522401.

Estos números también pueden ser definidos en bases distintas a 10. Por ejemplo, en base 2, el único número narcisista es el 1. En base 3, tenemos, además de los dígitos 1 y 2, el 5 (12 en base 3), 8 (22 en base 3) y 17 (122 en base 3). Tablas con los números narcisistas en las bases de 4 a 9 se pueden ver en la enciclopedia online de sucesiones enteras: A010344, A010346, A010348, A010350, A010354,  y A010353.

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3 comentarios en “Números narcisistas

  1. Alejandro

    Estimado, le comparto los numeros narcisistas hasta el 25 000 000. La potencia a la q hay q elevar se detalla luego de Pot.
    num= 153 // Pot= 3
    num= 370 // Pot= 3
    num= 371 // Pot= 3
    num= 407 // Pot= 3
    num= 1634 // Pot= 4
    num= 4150 // Pot= 5
    num= 4151 // Pot= 5
    num= 8208 // Pot= 4
    num= 9474 // Pot= 4
    num= 54748 // Pot= 5
    num= 92727 // Pot= 5
    num= 93084 // Pot= 5
    num= 194979 // Pot= 5
    num= 548834 // Pot= 6
    num= 1741725 // Pot= 7
    num= 4210818 // Pot= 7
    num= 9800817 // Pot= 7
    num= 9926315 // Pot= 7
    num= 14459929 // Pot= 7
    num= 24678050 // Pot= 8
    num= 24678051 // Pot= 8

    Si quiere le doy el codigo que arme provisoriamente en VB6 para lograr esto.

    1. Hola, Alejandro:

      El requisito para ser número narcisista es que la potencia a la que elevas sus dígitos debe ser la misma que el número de dígitos. Así que, de tu lista, 4150, 4151, 194979, y 14459929 no lo son.

    2. Alejandro

      ahhh, pequeño detalle! Gracias! ahora retoco el código. Lo bueno es que va a correr múcho más rápido la comprobación. Sentite en libertad de borrar ese comentario, no sea que traiga error a algún lector apresurado.

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