¿Cuántas veces hay que tirar los dados?

Esta semana los de Numberphile presentaron un video que consiste, así en bruto, en tirar repetidamente cinco dados hasta obtener un yahtzee (o generala, en español), que consiste en que todos tengan el mismo resultado. Puse el video ayer en el pizarrón, y aquí va de nuevo.

La probabilidad de obtener una generala es 1/1296 y se calcula de la manera siguiente (también en el video lo mencionan).

Fijamos uno de los dados (no importa cuál) y verificamos su resultado. Entonces, para obtener una generala, se necesita que los otros cuatro obtengan el mismo resultado que el primero. Como cada uno tiene una posibilidad en seis de obtener el mismo resultado que el primero, entonces la probabilidad de que todos caigan igual es

\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{1296}.

Así, en promedio, uno debe tirar los dados 1296 veces para obtener una generala. Para mostrar esto, supongamos que la probabilidad de obtener éxito en cada intento es p. Si E es el valor esperado de intentos para obtener éxito, entonces satisface la ecuación

E = p\times 1 + (1-p)\times(1 + E),

porque, si obtenemos éxito al primer intento, entonces solo tuvimos que tirar una vez pero, si no somos exitosos, entonces tendremos que seguir tirando hasta obtener éxito, y debemos contar el primer fracaso. Resolviendo la ecuación anterior tenemos que

E = \dfrac{1}{p}.

En nuestro caso, p=1/1296 y entonces E=1296. Sin embargo, esto no significa que necesariamente tenemos que tirar los dados 1296 veces para obtener una generala: podríamos lograrlo en menos intentos, o en muchos más. 1296 es solo el promedio de todas las posibilidades, cada una multiplicada por su probabilidad de ocurrencia.

En el video, Brady afirma que “los matemáticos le dijeron” que tiene un 63% de probabilidad de obtener una generala dentro de los primeros 1296 tiros. En el video no nos dice cómo calcular tal cosa, pero es de hecho sencillo. Como antes, suponemos que la probabilidad de tener éxito en cada intento es p. Es más fácil calcular la probabilidad de no tener éxito en los primeros 1296 intentos: como la probabilidad de fracaso es 1-p, la probabilidad de 1296 fracasos consecutivos es

(1-p)\times(1-p)\times\ldots\times(1-p) = (1-p)^{1296},

es decir, el producto de 1296 veces 1-p. La probabilidad de obtener éxito dentro de los primeros 1296 intentos es entonces

1 - (1-p)^{1296}.

En nuestro caso particular p = 1/1296, por lo que la probabilidad de éxito es

1 - (1-1/1296)^{1296} \approx 0{.}632,

es decir, 63.2%. En general, la probabilidad de obtener éxito dentro de los primeros N intentos es

1 - (1-p)^N.

Por ejemplo, Brady menciona más adelante que tiene una probabilidad del 90% de obtener éxito dentro de los primeros 2920 tiros. Efectivamente,

1 - (1-1/1296)^{2920} \approx 0{.}895.

Brady por fin obtiene una generala en el intento 627. Como lo dije en el pizarrón, tuvo suerte. La probabilidad de obtener éxito dentro de los primeros 627 intentos es

1 - (1-1/1296)^{627} \approx 0{.}384,

es decir, del 38.4%.

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