Números perfectos

Un número perfecto es un número positivo igual a la suma de sus divisores menores a él. Por ejemplo, el 6 es perfecto, porque sus divisores menores a sí mismo, 1, 2, y 3, suman 6. Otro ejemplo es el 28:

$1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.$

Un número perfecto par es de la forma $2^{n-1}(2^n-1)$ , donde $2^n-1$ es un número primo. Esto fue descubierto por Euler, y se basa en el hecho que la suma de los divisores de un número es igual a

$\sigma(N)=\displaystyle \prod_{i=1}^k \frac{p_i^{\alpha_i} - 1}{p_i - 1},$

si $N = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$ es la expresión de $N$ como un producto de números primos distintos. Esta fórmula se sigue del hecho que los divisores de $N$ son todos de la forma $p_1^{\beta_1}\cdots p_k^{\beta_k}$ , donde cada $\beta_i$ satisface $0\le \beta_i\le\alpha_i$ . Entonces sólo se requiere de una suma geométrica (o mejor dicho, iterar $k$ sumas geométricas) para obtener la expresión de arriba para $\sigma(N)$ .

Un número perfecto satisface entonces la ecuación $2N = \sigma(N)$ , ya que la suma $\sigma(N)$ también incluye a $N$ . Para verificar que todos los números perfectos pares son de la forma $2^{n-1}(2^n-1)$ , donde $2^n-1$ es primo, suponemos primero que $N = 2^{n-1}(2^n-1)$ . Entonces, por la expresión anterior,

$\sigma(N) = \dfrac{2^n-1}{2-1}\dfrac{(2^n-1)^2-1}{(2^n-1)-1} = (2^n-1)((2^n-1)+1) = 2^n(2^n-1) = 2N,$

y por lo tanto $N$ es perfecto.

De manera inversa, suponemos que $N$ es un número perfecto par. Entonces existe $n>1$ tal que $N = 2^{n-1}M$ y $M$ es impar. Entonces tenemos

$\sigma(N) = (2^n-1)\sigma(M)$ y $\sigma(N) = 2N = 2^n M,$

lo que implica que $2^nM = (2^n-1)\sigma(M)$ . Como $2^n-1$ es impar, tenemos que $2^n-1$ divide a $M$ , y entonces $M = (2^n-1)K$ , para algún entero $K$ . Esto a su vez induce la ecuación

$2^n(2^n-1)K = (2^n-1)\sigma(M),$

de donde se obtiene que $\sigma(M) = 2^nK$ . Ahora bien, $\sigma(M)$ es la suma de los divisores de $M$ , y $M$ y $K$ son divisores de $M$ , así que $\sigma(M) \ge K + M$ . Pero

$K + M = K + (2^n-1)K = 2^n K = \sigma(M),$

por lo que entonces $K$ y $M$ son los únicos divisores de $M$ . Esto implica que $K=1$ y $M=2^n-1$ es primo, como queríamos demostrar.

El primero en mostrar que los números de la forma $2^{n-1}(2^n-1)$ , con $2^n-1$ primo, son perfectos fue Euclides, en sus Elementos. El primero en demostrar que estos son los únicos perfectos pares fue Euler, cuya demostración fue publicada póstumamente en 1849, aunque los primeros en conjeturarlo fueron Descartes y Mersenne (~1630). De hecho, los números primos de la forma $2^n-1$ son conocidos como números de Mersenne, y hasta ahora se conocen 47 de ellos (el último fue descubierto hace unos meses por el proyecto GIMPS).

No se sabe hasta ahora qué forma deben tener, si es que existen, los números perfectos impares. Lo que sí se sabe es que deben tener al menos 300 dígitos, si es que hay alguno.

La expresión $2^{n-1}(2^n-1)$ nos permite obtener algunas propiedades interesantes de los números perfectos. Una de ellas, mencionada en Mathworld, es que los números perfectos, en su expresión decimal, siempre tienen a 6 u 8 como último dígito. Esto se debe a que el residuo de la división de $2^n$ entre 10 (o sea, el último dígito) es, periódicamente, 2, 4, 8, ó 6. Entonces, el último dígito de $2^n-1$ es, periódicamente, 1, 3, 7 ó 5. Así que el último dígito de $2^{n-1}(2^n-1)$ es, multiplicando el de $2^{n-1}$ (6, 2, 4, 8, porque es una potencia menos que $2^n$ ) por el último dígito de $2^n-1,$ obtenemos 6, 6, 8 y 0. Como $n$ debe ser impar (si no, $2^n-1$ sería una diferencia de cuadrados y entonces no sería primo), el último dígito de un número perfecto debe ser 6 u 8.

De la misma podemos hacer el análisis con el residuo de dividir entre 9. El residuo de dividir $2^n$ entre 9 es, periódicamente, 2, 4, 8, 7, 5 y 1. Entonces, el de $2^{n-1}$ es 1, 2, 4, 8, 7 y 5, y el de $2^n-1$ es 1, 3, 7, 6, 4 y 0. Por lo tanto, el residuo de la división de $2^{n-1}(2^n-1)$ entre 9 es, multiplicando los anteriores, 1, 6, 1, 3, 1, ó 0. De nuevo, como se repiten cada 6 potencias y $n$ debe ser impar, entonces el residuo de la división de un número perfecto entre 9 es siempre 1.

Como el residuo de 10 entre 9, y por lo tanto de cada potencia de 10, es 1, esto implica que la suma de los dígitos de un número perfecto también tiene 1 como residuo de su división entre 9. Si, a su vez, sumamos los dígitos de este suma, y sucesivamente, entonces siempre terminaremos en 1. Esta propiedad fue propuesta como problema hace algunos días en el blog Gaussianos.

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