Rompimiento con los paradigmas matemáticos

Por todos lados ha aparecido la noticia de un mexicano que «descubre nuevo sistema matemático» ([1], [2], [3], [4], por ejemplo), incluida la página de prensa de la Universidad de Guadalajara, donde trabaja Juan Alfredo Morales del Río, el descubridor, en el Centro Universitario de la Ciénaga.

La nota es demasiado sospechosa, sobre todo por la forma de Morales de presentar su descubrimiento. Como se describe en El Universal (las negritas son originales):

Juan Alfredo Morales, investigador del Departamento de Ciencias Tecnológicas del Centro Universitario de la Ciénega (CUCIénega) de la UdeG, oficializó hoy su descubrimiento sobre una nueva serie de números denominados trierniones.

En rueda de prensa, manifestó que caen en el campo de los hipercomplejos, compuestos de tres partes: una real y dos imaginarias, que tendrán múltiples aplicaciones, sobre todo en proyectos de inteligencia artificial.

Dijo que su hallazgo rompe con los paradigmas matemáticos, sobre todo con los tradicionales números complejos (que describe como la suma de un número real y uno imaginario), que son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos.

Esta nota tiene todos los ingredientes de la presentación por un charlatán: anuncio de un «descubrimiento» en una rueda de prensa, grandes promesas de aplicaciones por todos lados, y, desde luego, el «rompimiento de los paradigmas» actuales; la última es siempre una gran favorita.

Empecemos por el autor, que no sabemos a ciencia cierta a qué se dedica: lo mismo aparece explorando el lago de Chapala en búsqueda de pinturas rupestres,  como estudiando la contaminación del río Zula o declarando que la industria mueblera de Ocotlán, Jalisco, no cumple las normas ecológicas. Tenemos dos opciones: Morales es toda una maravilla de la investigación multidisciplinaria, o nomás anda metiendo las narices en todos lados.

Rara vez se hacen anuncios de descubrimientos matemáticos (o científicos, en general) serios en rueda de prensa; lo usual es enviar el resultado a una publicación científica, arbitrada, y, una vez publicada, es la prensa especializada la que publica anuncios para el público, si la considera de interés, incluyendo entrevistas a los autores. Son pocas las excepciones en que el mismo autor hace un anuncio público; recordemos el fiasco de Lisa Wolf-Simon y su rueda de prensa, auspiciada por NASA, al anunciar su supuesta bacteria que sobrevive con arsénico.

Luego viene la afirmación que «se rompe con paradigmas», frase típica de los charlatanes para evitar muestras de escepticismo de sus interlocutores y, sobre todo, preguntas incómodas.

Pero, a final de cuentas, ninguna de mis críticas aquí expuestas es definitiva hasta no ver el trabajo anunciado. Es decir, tal vez el autor no sea matemático y, tal vez, su descubrimiento no sea la octava maravilla, pero existe la posibilidad de que su trabajo sea correcto e interesante, y nomás se dejó llevar por la emoción y la anunció como la gran promesa para la ciencia y tecnología del próximo siglo.

Los mentados trierniones

Afortunadamente la página del Centro de la Ciénaga, en su comunicado de prensa, incluye el texto del autor en versión PDF: Los números trierniones. Con una leída rápida podemos verificar que, efectivamente, el autor no es matemático y que su descubrimiento no es una maravilla. Sin embargo, tampoco es correcto, ni interesante.

Después de una introducción, formada por una no tan breve historia de los números complejos, en la segunda sección Morales define el conjunto de los trierniones (aunque los llama «serie»). Consiste de los números de la forma , donde y son reales y a y los llama «imaginarios». Más aún, forman un campo (o cuerpo, como se lee en algunas traducciones del alemán) con un par de operaciones y , aun por definir.

Morales escribió en el estilo de un libro de texto elemental (modelado, seguramente, de un texto de variable compleja), por lo que, por ejemplo, al enunciar su «axioma de igualdad» incluye un ejemplo, a manera de ejercicio resuelto, donde trabaja todos los detalles para concluir que, si los trierniones y son iguales, entonces y . Es por eso que el PDF tiene 32 páginas, cuando unas 2 o 3 hubieran sido suficientes para decir lo mismo.

Después de explicar el «espacio hipercomplejo de los trierniones», que él llama espacio de Argand-Morales del Río (no ma…), finalmente define la suma, que no es más que la suma vectorial en . Luego gasta unas 10 páginas en verificar las propiedades de esta suma: conmutatividad, asociatividad, etc.; algunas, como la desigualdad del triángulo, solo las verifica con ejemplos.

Finalmente, en la quinta sección, define la multiplicación como

Luego se lanza, como en el caso de la suma, a verificar sus propiedades. Después de verificar el «axioma de uniformidad» con un ejemplo (donde realiza la misma multiplicación dos veces), y luego verificar conmutatividad con dos trierniones arbitrarios, verifica la asociatividad multiplicando y luego para el caso particular (así lo escribe), y .

Aquí es donde la puerca tuerce el rabo: si hubiera escogido el caso y , entonces hubiera obtenido

y

¡que no son iguales! La operación no es asociativa; la única razón por la que funcionó con el ejemplo que él escogió es que, esencialmente, multiplicó tres veces el mismo número , aunque multiplicado por y . Supongo que esa es la razón por la que no incluyó una verificación formal (tomando tres números arbitrarios): simplemente no le salió.

Curiosamente, luego de verificar en generalidad la propiedad distributiva, Morales afirma algo demasiado extraño, incluso para él: la identidad multiplicativa, el «uno triernión», es el (WTF!). No entiendo porque no le gustó, simplemente, el número 1. De hecho, es obvio que su no es una identidad multiplicativa: si multiplican 2 por les da , por ejemplo, y no 2. Luego dice que «se cumple para cualquier triernio , exceptuando el triernión definido como triernión nulo .» Irónicamente, es el único para el cual se cumple dicha igualdad.

En la sección 6 Morales presenta una fórmula para la división de la cual está particularmente orgulloso:

A la ecuación (6-3) se le conocerá con el nombre de ecuación Morales del Río para la división de trierniones, ya que el ingeniero Alfredo Morales del Río la encontró al dividir un triernión entre otro usando la multiplicación por el hipercomplejo conjugado de un triernión.

Morales define el conjugado de como , y al multiplicar estos obtiene , un número real. De ahí que calcula la división al estilo de los complejos:

,

donde es el conjugado de . Lo que no contaba Morales es con el hecho que, a veces, el producto de uno de sus números por su conjugado da cero, como, por ejemplo, . Así que no podemos dividir los trierniones entre el triernión , ¡lástima, Margarito, lástima!.

Así que el artículo de Morales, ni está correcto, ni es interesante. Más aún, al incluir demostraciones de las propiedades que sí son válidas y no incluir (ni siquiera incorrectas, como para que podamos señalar el error) las de las falsas, sugiere que, en realidad, Morales sí se dio cuenta que sus trierniones no funcionan, pero de todos modos le valió y se puso a anunciar su «descubrimiento» en rueda de prensa, quemando en el camino al rector del Centro que lo acompañó. Típica actitud de un charlatán.

¿Es posible la construcción intentada por Morales?

No. No existe un campo tridimensional (o de ninguna dimensión finita mayor a 2) que extienda al campo de los números complejos. Esto es consecuencia del teorema fundamental del álgebra: si es un polinomio sobre los complejos de grado al menos 1, entonces tiene una raíz en . Es decir, para cualquier polinomio con coeficientes en , entonces existe un número tal que . Más aún, esto implica que, de hecho, todas las raíces de están en .

Si es una extensión de, digamos, dimensión (dimensión real), y tomamos , entonces los números serían linealmente dependientes (sobre ), por lo que podríamos encontrar números reales tales que

Pero entonces es raíz del polinomio , y concluimos que . Por lo tanto, (y , desde luego).

Así que no puede existir un campo tridimensional. ¿Qué es lo mejor que podemos lograr? Recordemos que las cosas que fallan en la construcción de Morales son la asociatividad y la existencia de la división, ya que algunos números diferentes de cero pueden resultar en cero al ser multiplicados entre sí.

Un álgebra es una estructura algebraica con suma y multiplicación, tal que, mientras la suma tiene todas la propiedades de la suma en un espacio vectorial (sobre ), es decir, asociatividad, conmutatividad, elemento neutro (cero) e inversos aditivos, a la multiplicación solo le pedimos ser distributiva con la suma: y (tenemos que poner las dos porque no necesariamente tenemos conmutatividad).

Un álgebra de división es un álgebra sin divisores de cero, o sea, si , entonces o . En otras palabras, en un álgebra de división, la división es posible. En 1958, Michel Kervaire, e independientemente, Raoul Bott y John Milnor, demostraron que las álgebras de división deben tener dimensión 1, 2, 4 u  8. Así que no podemos tener divisiones en un álgebra de dimensión 3.

De hecho, si pretendemos que nuestra álgebra de división, además, sea normada (tenga valor absoluto), entonces solo hay exactamente 4 de ellas: (los reales), (los complejos), (los cuaterniones) y (los octoniones), lo cual fue demostrado por Adolf Hurwitz en 1898. Cada una pierde alguna propiedad de la anterior: los complejos no están ordenados, a diferencia de los reales; los cuaterniones no tienen la propiedad conmutativa de la multiplicación, a diferencia de los complejos; y los octoniones no tienen la propiedad asociativa, a diferencia de los cuaterniones.

Para finalizar, sí es posible construir un álgebra conmutativa y asociativa de dimensión 3. Un ejemplo es el de los llamados números tricomplejos, descubiertos recientemente por Silviu Olariu, y que pueden ser vistos como una subálgebra del álgebra de matrices de .

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Con esta nota participo en la edición 2.8 del carnaval de matemáticas, alojado esta vez en el blog Ciencia Conjunta.