El teorema de la semana: el de Bolzano y Weierstrass

¿Cómo cazaría un matemático a un león en el desierto del Sahara? La misma pregunta se la hizo H. Pétard, de Princeton, Nueva Jersey, y propuso el siguiente método (entre otros).

Método de Bolzano-Weierstrass. Bisecamos el desierto con una cerca de norte a sur. El león se encontrará en la parte este o en la parte oeste; suponemos que en la parte oeste. Bisecamos esta parte con una cerca de este a oeste. El león se encontrará en la parte norte o en la parte sur; suponemos que en la parte norte. Continuamos este proceso indefinidamente, construyendo una cerca lo suficientemente fuerte alrededor de cada una de las partes seleccionadas en cada paso. El diámetro de las partes tiende a cero, por lo que el león terminará rodeado por una cerca de diámetro arbitrariamente pequeño.

Este y otros métodos aparecen en el artículo A contribution to the mathematicasl theory of big game hunting, aparecido en el American Mathematical Monthly45 (1938), pp. 446-447 (pueden ver un PDF aquí). H Pétard es pseudónimo de los matemáticos Ralph P. Boas Jr., en ese entonces postdoc de Salomon Bochner en la Universidad de Princeton, y Frank Smithies, profesor de la Universidad de Cambridge y buen amigo de Boas mientras estuvo de visita en Princeton. El artículo fue el resultado de  chistes matemáticos producidos en varias parrandas.

El método recibe el nombre de “Bolzano-Weierstrass” por la demostración del teorema del mismo nombre, en honor de los matemáticos Bernard Bolzano (1781-1848) y Karl Weierstrass (1815-1897), y del cual hablaremos esta semana.

El protagonista del análisis matemático es el límite: una sucesión de números a_1, a_2, a_3, ... tiene el límite L, y escribimos a_n\to L, si los elementos de la sucesión se acercan “arbitrariamente” a L si avanzamos “suficientemente” en la lista. En términos precisos, para cualquier número positivo, llamémosle \varepsilon, la diferencia entre a_n y L es menor que \varepsilon si n es suficientemente grande: existe N tal que,

si n\ge N, entonces |a_n - L| < \varepsilon.

Por ejemplo, la sucesión \dfrac{1}{n} \to 0, mientras que las sucesiones 1, 2, 3, 4, \ldots o 0,1,0,1,0,\ldots no tienen límite.

Sin embargo, en la última de éstas, si tomamos solo los términos pares de la sucesión, entonces obtenemos 1, 1, 1, \ldots, la cual sí converge, obviamente a 1. Decimos entonces que la sucesión 0,1,0,1,\ldots tiene una subsucesión convergente.

En general, una subsucesión de a_1, a_2, a_3, \ldots es una sucesión a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \ldots con n_1 < n_2 < n_3 < \cdots. Es decir, es una sucesión formada con términos de la sucesión original, distintos y en el mismo orden. Con “distintos” nos referimos al índice de la sucesión (la posición de los términos en la lista), no a los valores de los términos en sí. En el ejemplo anterior, la subsucesión 1, 1, 1, \ldots de 0,1,0,1,\ldots corresponde a los términos pares de la sucesión: a_2, a_4, a_6, \ldots.

Es claro que la sucesión 1, 2, 3, 4, \ldots no tiene subsucesiones convergentes, porque todos sus términos crecen indefinidamente. ¿Cuándo podemos garantizar que una sucesión tiene subsucesiones  convegentes? El teorema de Bolzano-Weierstrass nos da la respuesta.

Teorema (Bolzano-Weierstrass). Si la sucesión a_1, a_2, a_3, \ldots es acotada, entonces tiene una subsucesión convergente.

Decimos que una sucesión es acotada si todos los valores de sus términos pertenecen a un intervalo, digamos, [A,B]; es decir, a_n \in [A,B] para todo n. A los números A y B los llamamos cotas de la sucesión.

Así, 0,1,0,1,\ldots es acotada porque sus términos se encuentran dentro de [0,1] (o [-2,2], o cualquier otro intervalo donde se encuentren los números 0 y 1), mientras que 1, 2, 3, 4, \ldots no lo es.

La demostración del teorema de Bolzano-Weierstrass se lleva a cabo por el método de cacería descrito al inicio de esta entrada: bisecamos el intervalo [A,B] y consideramos los intervalos [A, \frac{A+B}{2}] y [\frac{A+B}{2}, B]. Como todos los términos de la sucesión se encuentran en [A,B] y son infinitos (otra vez, nos referimos a los índices de los términos, y no a los valores, que podrían ser finitos y repetirse inifinitamente, como en nuestro ejemplo del 0 y 1), entonces uno de los dos subintervalos [A, \frac{A+B}{2}] o [\frac{A+B}{2}, B] debe contener una infinidad de ellos.

Si [A, \frac{A+B}{2}] tiene una infinidad de términos de la sucesión, entonces hacemos A_1 = A y B_1 = \frac{A+B}{2}; de otra forma, A_1 = \frac{A+B}{2} y B_1 = B. Siguiente, bisecamos [A_1, B_1], y tomamos uno de los intervalos [A_1, \frac{A_1+B_1}{2}] o [\frac{A_1+B_1}{2}, B_1] que tenga infinitos términos de la sucesión para obtener [A_2, B_2]. Continuamos de la misma forma para obtener una sucesión de intervalos cerrados [A_n, B_n] tales que

  1. Cada [A_n, B_n] tiene una infinidad de términos de la sucesión a_1, a_2, a_3, \ldots.
  2. Cada intervalo está contenido en el anterior: [A_{n+1},B_{n+1}]\subset[A_n,B_n].
  3. La longitud de cada intervalo [A_n, B_n] está dada por B_n - A_n = \dfrac{B-A}{2^n}.

Ahora bien, construimos una subsucesión de la siguiente forma: tomamos a_{n_1}\in[A_1, B_1]; luego, tomamos a_{n_2} de tal forma que n_2>n_1 y a_{n_2}\in[A_2,B_2]. Esto es posible porque [A_2, B_2] contiene una infinidad de términos de la sucesión. Repetimos el proceso: una vez tomados a_{n_1}, \ldots, a_{n_k}, tomamos n_{k+1}>n_k tal que a_{n_{k+1}}\in[A_{k+1},B_{k+1}].

Observamos ahora que, si el número x\in \bigcap_n [A_n,B_n] (es decir, está en todo intervalo [A_n,B_n])1, entonces

|a_{n_k} - x| \le \dfrac{B-A}{2^k} \to 0,

por lo que a_{n_k} \to x. Hemos encontrado una subsucesión convergente, lo que termina la demostración del teorema.

Es claro cómo podemos extender el teorema a sucesiones en \mathbb R^n, en cualquier dimensión. El teorema de Bolzano-Weierstrass es indispensable en la teoría de funciones de varias variables, en la teoría de variable compleja y, en general, en todo el análisis.

La idea de subsucesiones  convergentes es muy útil para entender, además, la teoría de operadores en espacios de dimensión infinita (como el espacio de funciones continuas, o el de funciones integrables), aún cuando es posible encontrar en tales espacios sucesiones acotadas sin subsucesiones convergentes. Los conjuntos (dentro de espacios métricos) cuyas sucesiones siempre tienen subsucesiones convergentes son llamados compactos, y saber cuándo un conjunto es compacto es importante para entender sus funciones continuas.


1Este hecho es conocido como el axioma de completitud de los números reales.

2Teoremas de la semana anteriores: teorema de la semana.

3Con esta entrada participo en el Carnaval de Matemáticas, edición 3.1, hospedado por el blog Scientia potentia est.

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