De la división sintética al álgebra lineal

Publicado el por ricardos

Ayer Miguel Ángel Morales escribió el siguiente tweet:

Yo tampoco sabía qué eso de «método de Ruffini», pero después de una búsqueda en la Wikipedia vi que se refiere a lo que en México llamamos división sintética. Este método permite dividir un polinomio p(x) entre otro de la forma x - \alpha eficientemente, utilizando solo los coeficientes de p(x).

Visto así, parece no tener nada que ver con matrices, ¿o sí?

La cosa es que la división de polinomios entre uno fijo, digamos x - \alpha, es lineal. Es decir, si dividimos p(x) y q(x) entre x - \alpha,

p(x) = p_1(x)(x-\alpha) + k      y      q(x) = q_1(x)(x-\alpha) + l,

entonces el resultado de dividir una combinación lineal \lambda p(x) + \mu q(x) de ellos es

\lambda p(x) + \mu q(x) = \big(\lambda p_1(x) + \mu q_1(x)\big)(x-\alpha) + (\lambda k + \mu l),

es decir, el cociente y el residuo es la misma combinación lineal de los cocientes y residuos anteriores. Así, la transformación

p(x) \to \big(p_1(x), k\big)

es lineal, del espacio \mathcal P_n de polinomios de grado menor o igual a n al espacio de pares \big(p_1(x),k\big), donde p_1(x) es un polinomio de grado menor o igual a n-1 y k\in\mathbb R. Como \mathcal P_n y \mathcal P_{n-1}\times\mathbb R son espacios de dimensión n+1, entonces dicha transformación puede ser representada por una matriz de tamaño (n+1)\times(n+1).

Calcular dicha matriz es relativamente sencillo si tomamos la base estándar \{x^n, x^{n-1},\ldots, x,1\} de \mathcal P_n: si divimos x^k entre x-\alpha, obtenemos

x^k = (x^{k-1} + \alpha x^{k-2} + \ldots + \alpha^{k-1})(x-\alpha) + \alpha^k,

que se puede verificar expandiendo la multiplicación de la derecha (también se puede calcular con la división sintética, desde luego). Así, si tomamos como base para \mathcal P_{n-1}\times\mathbb R el conjunto

\{(x^{n-1},0), (x^{n-2},0),\ldots,(1,0),(0,1)\}

(recordemos que sus elementos son pares ordenados), entonces cada columna de la matriz será el vector formado por ceros y las primeras k potencias de \alpha, y se verá de la forma

D= \begin{pmatrix}1&0&0&\cdots&0\\\alpha&1&0&\cdots&0\\\alpha^2&\alpha&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\alpha^n&\alpha^{n-1}&\alpha^{n-2}&\cdots&1\end{pmatrix}.

Por ejemplo, si queremos dividir 4x^3 - 2x + 1 entre x+1, entonces \alpha = -1 y sus potencias son \pm 1, por lo que solo tenemos que multiplicar

\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\1&-1&1&0\\-1&1&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\ 0\\-2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-4\\2\\-1\end{pmatrix}

para concluir que el cociente es 4x^2 - 4x + 2 y el residuo es -1.

La matriz D tiene una forma muy especial: es triangular. Como solo tiene 1 en la diagonal, su determinante es igual a 1 y, en particular, es invertible. Su inversa también debe ser triangular, y podemos calcularla, por ejemplo, a través de la eliminación de Gauss-Jordan. Sin embargo, solo tenemos que notar que el resultado de aplicar la operación inversa

(p(x),k) \to p(x)(x-\alpha) + k

a los pares (x^k,0) y (0,1) tiene como resultado los polinomios x^{k+1} - \alpha x^k y 1, respectivamente, por lo que entonces la matriz está dada por

D^{-1} = \begin{pmatrix}1&0&0&\cdots&0\\ -\alpha & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0&-\alpha&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\end{pmatrix}.

Tengo que admitir que dudo mucho que los alumnos hayan tenido alguna idea… de que estaban en lo correcto.

Este ejemplo del álgebra lineal en la división de polinomios me recordó al artículo de Jack W. Rogers, Jr., en el American Mathematical Monthly de enero del 1997 (estaba yo todavía en la licenciatura), «Applications of Linear Algebra in Calculus«, en donde calcula las matrices correspondientes a diferenciación de funciones de la forma x^n\cos x y x^n \sin x, lo cual permite calcular, a través de la matriz inversa, las integrales de estas funciones sin necesidad de integrar por partes. También funciona con e^x\cos x y e^x\sin x.

Esta entrada participa en la edición 3.1415926 del Carnaval de Matemáticas, alojado en este blog.

6 comentarios sobre “De la división sintética al álgebra lineal”

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  5. es muy importante la division sintetica para el algebra lineal. Gracias por la info bro! ayuda mucho a la resolucion de funciones y ecuaciones de grado superior grado 3 grado 4. Tambien es bueno saber un poco de factorizacion

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